Vorlesung im Wintersemester 2001/2002:


Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Vektoranalysis (Analysis III)

Martin Schlichenmaier

Ort und Zeit: Mo 13.45 - 15.15 (A5, C 015), Do 13.45 - 15.15 (A5, C 012)

Übungen: Mo 15.30 - 17.00 (A5, C 015).

Erste Vorlesung: Montag, den 15.10.2001


INHALT: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind geometrische Objekte, die ``lokal wie der n-dimensionale reelle Raum aussehen''. Somit ist der n-dimensionale reelle Raum sicherlich eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein wichtiges Beispiel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, die global nicht wie der n-dimensionale Raum aussieht, wird durch die Oberfläche einer Kugel im dreidimensionalen Raum gegeben. Bekanntlich ist die Erdoberfläche näherungsweise eine Kugeloberfläche.

In der Vorlesung wird der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit eingeführt. Es wird die Differential- und Integralrechnung auf ihnen entwickelt. Speziell wird eine Darstellung des Differentialformenkalküls gegeben. Als wichtiger Satz wird der Satz von Stokes bewiesen werden. Dieser verallgemeinert den im Eindimensionalen bekannten ``Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung'', \int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a), auf höhere Dimensionen. Unter Anderem werden als Anwendungen des Differentialformenkalküls die klassischen Sätze der Vektoranalysis über Gradient, Rotation und Divergenz behandelt.

Voraussetzungen: Grundstudium

Prüfungsrelevanz: Die Vorlesung gehört als Vorlesung ``Analysis III'' zum Bereich ``Fundamente'' im Hauptstudium des integrierten Studiengangs Mathematik und Informatik. Sie wendet sich allerdings auch an interessierte Studenten der Technischen Informatik und Wirtschaftsinformatik. Bei erfolgreicher Absolvierung der Übungen wird ein Übungsschein erteilt.

Literatur: