Pagina del corso "Geometria" per il corso di Laurea in Ingegneria Edile ed Architettura.

Docente: Andrea Seppi
Esercitazioni: Alessandro Ghigi

Orari lezioni: lun 9-11 (aula 5), mar 11-13 (E4), mer 14-16 (C8), gio 11-13 (C7).
Tutorato: mer 16-18 (A3)
Ricevimento: su appuntamento email (andrea punto seppi01 chiocciola ateneopv punto it)

Libro di testo: F.Bisi, F.Bonsante, S. Brivio. Lezioni di Algebra Lineare con Applicazioni alla Geometria Analitica. Edizioni La Dotta.

Esercizi:
Foglio esercizi 1
Foglio esercizi 2
Esercizi di riepilogo sulla geometria analitica: testo e soluzioni.
Foglio esercizi 3
Foglio esercizi 4
Esercizi di riepilogo su matrici e sistemi lineari: testo e soluzioni.
Raccolta di esercizi

Registro lezioni:

9/10: Lezione introduttiva, panoramica del corso. Esempi.
10/10: Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Elementi di logica: quantificatori, implicazioni, proposizione contronominale. Insiemi immagine e controimmagine. Funzione inversa. Esempi.
11/10: Valore assoluto di una funzione. Spazio dei vettori applicati nello spazio Euclideo tridimensionale. Traslazione di un vettore come trasformazione dello spazio Euclideo. Operazioni tra vettori e loro principali proprietà: somma, prodotto per scalare, prodotto scalare.
12/10: Vettori linearmente indipendenti. Span di un vettore, di due vettori e di tre vettori. Rette e piani passanti per l'origine o per un punto dato. Rappresentazione di un vettore come combinazione lineare di una base.

16/10: Base dello spazio dei vettori applicati di dimensione tre. Rappresentazioni parametriche di rette e piani. Esempi: retta per due punti, piano per tre punti. Posizioni reciproche di rette e piani. Posizioni reciproche tra due rette. Esercizi.
17/10: Basi ortonormali. Prodotto scalare in coordinate cartesiane ortonormali. Rappresentazione cartesiana di un piano. Posizioni reciproche tra due piani. Rappresentazione cartesiana di una retta. Esercizi: piano per tre punti e retta per due punti.
18/10: Passaggio da rappresentazione cartesiana a parametrica di una retta, e viceversa. Passaggio da rappresentazione cartesiana a parametrica di un piano, e viceversa. Esercizi.
19/10: Proiezione e distanza di un punto da una retta. Proiezione e distanza di un punto da un piano. Esercizi.

23/10: Esercizi di riepilogo sulla geometria analitica.
24/10. Lo spazio R^n. Definizione di spazio vettoriale astratto. Esempi: spazio dei vettori applicati, R^n, spazi di matrici, spazi di polinomi, spazi di funzioni reali. Isomorfismo tra spazi vettoriali ed esempi. Definizione di sottospazio vettoriale e primi esempi.
25/10: Sottospazi di R^n definiti mediante equazioni omogenee. L'intersezione di due sottospazi è sottospazio (con dimostrazione) mentre la somma no. Definizione di somma di due sottospazi. La somma di sottospazi è sottospazio (con dimostrazione). Esempi in forma cartesiana e parametrica.

30/10: Span di un insieme di vettori e sue proprietà. Lo Span di un insieme di vettori è sottospazio (con dimostrazione). Relazione con la somma di sottospazi. Sistemi di generatori e spazi vettoriali finitamente generati. Lo spazio R[x] non è finitamente generato.
31/10: Vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale. Definizioni equivalenti. Esempi.
2/11: Base di uno spazio vettoriale. Esempi: base standard di R^n, altre basi di R^n, basi di R[x] e dello spazio delle matrici nxm. Teorema della base e definizione di dimensione. Algoritmi di estrazione e completamento ed esempi di applicazioni.

6/11: Conseguenze del Teorema della base. Dimensione di sottospazi e proprietà. Esempi: i sottospazi dello spazio dei vettori applicati nello spazio Euclideo; sottospazi di polinomi di grado minore o uguale a d. Ricerca di basi dei sottospazi somma ed intersezione di due sottospazi. Accenno alla formula di Grassmann.
7/11: Formula di Grassmann. Esempi. Caratterizzazioni di sottospazi in somma diretta. Esercizi: ricerca di basi di sottospazi di R^n definiti mediante equazioni omogenee e del loro sottospazio somma ed intersezione.
8/11: Sottospazi complementari. Infinità di complementari di un sottospazio dato, con esempi. Ricerca di un complementare di un sottospazio dato mediante l'algoritmo di completamento. Somma diretta di più sottospazi ed esempi.

14/11: Richiami allo spazio vettoriale delle matrici. Prodotto matrice-vettore. Sistema lineare ed applicazione lineare associati ad una matrice. Prodotto matrice-matrice. Esempi. Matrice trasposta e matrici simmetriche.
15/11: Matrice identità. Definizione di matrice invertibile. Caratterizzazioni dell'invertibilità di una matrice. Esempi di calcolo della matrice inversa.
16/11: Formula per l'inversa di una matrice 2x2. Determinante di una matrice 2x2 e sua interpretazione geometrica. Calcolo del determinante di una matrice nxn mediante lo sviluppo sulla prima colonna. Esempi.

21/11: Determinante di matrici diagonali e triangolari. Teorema di Laplace per lo sviluppo del determinante su una riga o colonna. Proprietà del determinante. Teorema di Binet. L'invertibilità di una matrice quadrata è equivalente alla condizione che il determinante è non nullo (con dimostrazione).
22/11: Inversa della matrice prodotto di due matrici invertibili. Definizione di rango. Caratterizzazione delle matrici di rango massimo. Sottomatrici e minori. Calcolo del rango utilizzando i minori. Esempi.
23/11: Il rango di una matrice è uguale al rango della trasposta. Sistemi lineari omogenei e non omogenei. Teorema di Rouché-Capelli. Esempi. La soluzione è unica se e solo se i vettori colonna sono linearmente indipendenti. Nucleo di una matrice. Teorema delle dimensioni. 

28/11: Esercizi su rango di matrici parametriche.
29/11: Teorema di struttura per sistemi lineari non omogenei. Applicazioni del Teorema di Rouché-Capelli e del Teorema delle dimensioni. Metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare nxn ed applicazione al calcolo della matrice inversa.
30/11: Algoritmo di Gauss per la risoluzione di un sistema lineare ed applicazione al calcolo della matrice inversa. Esercizi.

5/12: Applicazioni lineari, prime proprietà ed esempi.
6/12: Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Nucleo ed immagine sono sottospazi. Immagine e controimmagine di sottospazi sono sottospazi. Esempi. Teorema delle dimensioni (con dimostrazione).
7/12: Esempi del teorema delle dimensioni. Caratterizzazione di applicazioni lineari iniettive, suriettive, isomorfismi. Due spazi vettoriali finitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Isomorfismo di rappresentazione tra uno spazio vettoriale di dimensione n ed R^n.

12/12: Teorema di rappresentazione di un'applicazione lineare rispetto a basi dello spazio di partenza e di arrivo. Matrice del cambiamento di base. Esempi.
13/12: Matrici equivalenti, matrici simili e loro proprietà. Esempi: matrici diagonali e matrici di rotazione. Introduzione al problema della diagonalizzazione di matrici.
14/12: Definizione di applicazioni lineari e matrici diagonalizzabili. Definizione di autovalori, autovettori, autospazi. Esempi. Polinomio caratteristico. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Esempi del calcolo di polinomio caratteristico, autovalori ed autospazi.

20/12: La molteplicità algebrica è maggiore della molteplicità geometrica. Autovalori regolari e semplici. Primo e secondo criterio di diagonalizzazione. Esempi.

8/1: Esercizi di riepilogo sulla diagonalizzazione
9/1: Esercizi di riepilogo sulla diagonalizzazione
10/1: Prodotto scalare in R^n e sue proprietà. Norma e distanza. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare. Sistemi ortogonali e ortonormali. Proprietà delle basi ortogonali e ortonormali. Coefficienti di Fourier.
11/1: Proiezioni ortogonali su un sottospazio. Algoritmo di Gram-Schmidt. Esempi.

15/1: Sottospazio ortogonale. Il sottospazio ortogonale ad un sottospazio dato è un sottospazio complementare (con dimostrazione). Esempi. Matrici ortogonali e prime proprietà. Esempi: matrici di rotazione.
16/1: Caratterizzazioni equivalenti delle matrici ortogonali. Teorema spettrale. Forme quadratiche e segno di una forma quadratica. Primi esempi. Teorema di diagonalizzazione di una forma quadratica.
17/1: Esercizi di riepilogo
18/1: Esercizi di riepilogo

22/1: Esercizi di riepilogo
23/1: Esercizi di riepilogo
24/1: Esercizi di riepilogo
25/1: Esercizi di riepilogo