Quelle est la longueur du segment marqué ?



Le segment marqué est un côté du carré et un côté d'un des triangles équilatéraux.
Notons \(s\) sa longueur.
La hauteur des triangles est alors \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}s\).
Considérons un diamètre du cercle reliant deux sommets de triangle situés sur la circonférence.

Ce diamètre peut être subdivisé en trois segments : deux hauteurs de triangle et un segment de longueur \(s\).
On en déduit que \[2=s+2\cdot (\dfrac{\sqrt{3}}{2}s).\] Le côté du carré mesure alors \[\sqrt{3}-1.\]