Quelle est l'aire de la région marquée ?



On sait que l'aire \(A_x\) du demi-cercle de rayon \(r_x\) est égale à \(\dfrac{\pi}{2}\cdot r_x^2\) et que l'aire \(A_y\) du demi-cercle de rayon \(r_y\) est égale à \(\dfrac{\pi}{2}\cdot r_y^2\).
L'aire \(A\) du grand demi-cercle de rayon \(1\) est égale à \(\dfrac{\pi}{2}\).
La région marquée est le complémentaire, dans le grand demi-cercle, des deux plus petits demi-cercles.
Donc son aire est donnée par \[\begin{align*} & A - A_x - A_y\\ = &\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2}\cdot r_x^2 - \dfrac{\pi}{2}\cdot r_y^2\\ = & \dfrac{\pi}{2} \cdot (1- r_x^2 - (1-r_x)^2)\\ = & \dfrac{\pi}{2} ( -2\cdot r_x^2 + 2\cdot r_x)\\ = & \pi (-r_x^2 + r_x^2 + r_x\cdot r_y)\\ = & \pi \cdot r_x\cdot r_y \end{align*}\]