M2 MFA
Géométrie riemannienne.

Syllabus

• 1. Variétés et fibrés.
• 1.1 Variétés différentielles
• 1.2 Formes différentielles
• 1.3 Fibrés vectoriels
• 1.4 Rappels sur les groupes de Lie
• 1.5 Fibrés principaux
• 2. Métriques et connexions
• 2.1 Métriques riemanniennes, longueur
• 2.2 Connexions, la connexion de Levi-Civita
• 2.3 La courbure géodésique des courbes
• 2.4 Géodésiques, première variation de la longueur
• 2.5 Théorème de Hopf-Rinow
• 2.6 Géodésiques minimisantes
• 3. Courbure sectionnelle
• 3.1 L'opérateur de courbure de Riemann
• 3.2 Champs de Jacobi
• 3.3 La courbure de surfaces
• 3.4 La courbure sectionnelle
• 3.5 Théorème de Cartan-Hadamard
• 3.6 Théorème de Synge
• 4. Courbure de Ricci
• 4.1 Courbure de Ricci, interprétations
• 4.2 Théorème de Bonnet-Myers
• 5. Sous-variétés
• 5.1 Sous-variétés, définition
• 5.2 Formule de Codazzi
• 5.3 Formule de Gauss
• 5.4 Surfaces dans R^3
• 5.5 Surfaces minimales, surfaces CMC
• 6. Espaces symétriques
• 6.1 Géométrie de la sphère S^n
• 6.2 Géométrie de l'espace hyperbolique
• 6.3 Variétés hyperboliques fermées

• calcul différentiel,
• groupe fondamental,
• formes différentielles extérieures,
• propriétés élémentaires des courbes et des surfaces.

• do Carmo, Manfredo Perdigao. Riemannian geometry. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp. ISBN: 0-8176-3490-8
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques. Riemannian geometry. Second edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1990. xiv+284 pp. ISBN: 3-540-52401-0