On commencera par décrire les principales propriétés élémentaires du plan hyperbolique, et de l'espace hyperbolique de dimension n. Puis on décrira quelques propriétés de l'espace des métriques hyperboliques sur une surface fermée.

On montrera ensuite comment construire des quotients compacts ou de volume fini de l'espace hyperbolique de dimension n, et on décrira certaines propriétés des variétés hyperboliques compactes de dimension 3, de manière à pouvoir énoncer la Conjecture d'hyperbolisation de Thurston.

On définira le bord le bord à l'infini d'une variété hyperbolique, et plus généralement d'une variété à courbure négative, et on étudiera certaines de ses propriétés géométriques. Ceci nous permettra, si le temps le permet, d'aborder la preuve du théorème de rigidité de Mostow, qui affirme qu'une variété compacte de dimension 3 admet au plus une métrique hyperbolique.