Mathematische Erkundung des römischen Mosaiks von Vichten

Das Mosaik ist ausgestellt im Musée National d'Histoire et d'Art Luxembourg (MNHA)

Römischer Sangaku

Der zentrale Teil des Vichten Mosaiks ist die Flächennachbildung eines Quadrats und ein Sangaku.

Was ist ein Sangaku?

Sangakus sind eine besondere Art von geometrischen Übungen, die oft als Bilder ohne Text dargestellt werden.
Die unausgesprochene Konvention in Sangakus lautet wie folgt: "Was regelmäßig aussieht, ist regelmäßig."

Beschreiben Sie die geometrischen Formen im zentralen Quadrat des Vichten Mosaiks.

Indem wir nur die getrennten Teile der Tessellation betrachten, können wir die folgende Formen identifizieren:

regelmäßige Achtecke (in zwei verschiedenen Größen)
halbquadratische Dreiecke (in zwei verschiedenen Größen)
symmetrische Fünfecke, die ein Quadrat mit einer abgebrochenen Ecke sind.

Wir möchten außerdem erwähnen:

ein achtzackiger Stern in der Mitte des Quadrats
ein regelmäßiges Achteck, im quadratischen Rahmen eingeschrieben
Quadrate an den Ecken des quadratischen Rahmens

Weise Sie den geometrischen Formen des Mosaiks Größen zu. Größen: S=klein, M=mittel, L=groß, XL=extra groß.

Extra-Groß: Der quadratische Rahmen und das ihm eingeschriebene Achteck haben die Größe XL. Die vier Dreiecke an den Ecken des Quadrats haben ebenfalls die Größe XL (weil sie das Achteck und das Quadrat der Größe XL verbinden).
Groß: Das zentrale Achteck und die beiden zentralen Quadrate, die das Achteck umschließen, haben die Größe L. Die damit verbundenen acht Dreiecke, die den achtzackigen Stern bilden, haben ebenfalls die Größe L. Die vier Dreiecke in der Mitte der Seiten des quadratischen Rahmens haben auch die Größe L.
Mittel: Die acht Achtecke, die das Achteck der Größe L umgeben, und die acht Dreiecke am quadratischen Rahmen haben die Größe M.
Klein: Die vier Quadrate an den Ecken des quadratischen Rahmens haben die Größe S.

Beschreiben Sie das Verhältnis zwischen den Größen L und M.

Das Verhältnis der Längen ist $\frac{L}{M}$ = $\sqrt{2}$ .
Um dies zu erkennen, vergleichen Sie Achtecke der Größe L und M, indem Sie das Dreieck zwischen ihnen betrachten.

Beschreiben Sie das Verhältnis zwischen den Größen XL und L.

Das Verhältnis $\frac{XL}{L}$ = 1 + $\sqrt{2}$ kann aus der Gleichung $XL=L+2M$ abgeleitet werden.
Beachten Sie für diese Gleichung, dass das Achteck der Größe L und zwei Achtecke der Größe M die Seiten des Quadrats der Größe XL bedecken.

Beschreibe Sie das Verhältnis zwischen den Größen L und S.

Das Verhältnis $\frac{L}{S}$ = 2 kann durch Kombination der Gleichungen $XL=2M+2S$ und $XL=2M+L$ erhalten werden.
Um die beiden Gleichungen zu erhalten, zerlege die Seitenlänge des XL-großen Quadrats. Erstens in zwei Quadrate der Größe M und zwei Quadrate der Größe S. Zweitens, mit zwei M-großen Quadraten und einem L-großen Quadrat.

Beschreiben Sie die verbleibenden Längenverhältnisse und die Verhältnisse der Flächen.

Die verbleibenden Längenverhältnisse können als Produkte der oben genannten Verhältnisse oder deren Umkehrung berechnet werden. Zum Beispiel $\frac{M}{S} = \frac{L}{S} \frac{M}{L} = \sqrt{2}$ .
Das Verhältnis der Flächen entspricht dem Quadrat des Verhältnisses der Längen. Zum Beispiel $\frac{M²}{S²}$ = 2.

Gebrochene Ecken

Wir untersuchen Achtecke und Fünfecke, die "ein Quadrat mit gebrochenen Ecken" sind.

Wenn Sie ein Achteck auf einem 3x3 Gitter zeichnen, erhalten Sie ein regelmäßiges Achteck?

Links haben wir ein Achteck im 3x3 Quadratgitter.
Rechts haben wir ein regelmäßiges Achteck.
Sie sind nicht gleich.

Beschreiben Sie das Achteck im 3x3 Gitter.

Das Achteck im 3x3 Gitter hat vier Symmetrieachsen.
Es hat eine 90° Rotationssymmetrie.
Es gibt zwei verschiedene Seitenlängen, deren Verhältnis $\sqrt{2}$ ist.
Die Höhe beträgt das Dreifache der kürzeren Seitenlängen.
Der Flächeninhalt ist 7/9 vom Flächteninhalt des quadratischen Rahmens.

Vergleichen Sie das Fünfeck im 2x2 Gitter mit dem Fünfeck des Vichten Mosaiks.

Die beiden Fünfecke sind unregelmäßig. Sie sind konvex und symmetrisch.
Sie haben beide drei 90° Winkel und zwei 135° Winkel.
Das Fünfeck im 2x2-Quadratgitter hat drei Seitenlängen, die proportional zu $1$ , $2$ , $\sqrt{2}$ sind.
Das Fünfeck aus dem Vichten Mosaik hat drei Seitenlängen, die proportional zu $1$ , $2$ , $1 + \sqrt{2}$ sind. Es kann hilfreich sein, das Fünfeck als ein Viertel eines regelmäßigen Achtecks zu betrachten.

Achtzackige Sterne

Es gibt zwei regelmäßige achtzackige Sterne, nämlich den 8/2 Stern und den 8/3 Stern, siehe die folgenden Abbildungen.
Im Vichten Mosaik befindet sich ein 8/2-Stern.

Beschreiben Sie die Konstruktion der beiden regelmäßigen achtzackigen Sterne innerhalb eines gegebenen regelmäßigen Achtecks.

Die beiden Sterne bestehen aus ausgewählten Diagonalen des regelmäßigen Achtecks.
Der 8/2 Stern wird durch die acht kleinsten Diagonalen gebildet, wobei sich jeweils 2 Seiten dazwischen befinden.
Der 8/3 Stern wird durch die acht mittleren Diagonalen gebildet, wobei sich jeweils 3 Seiten dazwischen befinden.

Zeichnen Sie einen 8/3 Stern, ausgehend von einem 8/2 Stern und umgekehrt.

Ausgehend von einem 8/2 Stern verlängern Sie die acht Linien. Dadurch erhalten Sie acht zusätzliche Schnittpunkte, die die Ecken eines 8/3 Sterns bilden.
Ausgehend von einem 8/3 Stern bilden die Segmente im Inneren des Sterns einen 8/2 Stern.

Flechtmuster

Im zentralen Teil des Mosaiks von Vichten sind
verschiedene Teile durch Zöpfe getrennt.

Erfinden Sie eine Strategie, um die Anzahl der verschiedenen Seile im Flechtmuster zu zählen.

Alle Seile sind geschlossen. Um sie zu zählen, können wir Folgendes tun:

Beginnen Sie mit einem Seil, sagen wir in der oberen linken Ecke, und folgen Sie seinem Verlauf bis zum Ausgangspunkt.
Färben Sie das gesamte Seil, um zu kennzeichnen, dass wir es bereits berücksichtigt haben.
Wählen Sie ein weiteres Seil aus und wiederholen Sie den Vorgang, bis das gesamte Muster gefärbt ist.

Es scheint, dass es 6 Seile gibt, wenn man auch die zusätzliche zentrale Seile in der Form eines Achteckes mitzählt.

Hier diese Abbildung auch als PDF.

Wirbelmuster

Im Vichten Mosaik gibt es zwei rechteckige Streifen, die ein Muster mit einer "Wirbel" Form enthalten.

Beschreiben Sie die Wirbelform.

Es handelt sich um die Vereinigung von vier kongruenten Figuren, die sich durch Rotationen von 90° unterscheiden.
Jede Figur besteht aus zwei Teilen:
Der erste Teil ist ein Halbkreis ohne zwei Halbkreise (halb so groß).
Der zweite Teil ist ein Halbring, der in ein Rechteck übergeht.

Beschreiben Sie die optische Täuschung bezüglich der beiden "identischen Wirbelstreifen" aus dem Vichten Mosaik.

Die beiden rechteckigen Streifen haben die gleiche Fläche.
Der unterschiedliche Anzahl der in den beiden Rechtecken enthaltenen Wirbel wird deutlich, wenn man die Ausrichtung des ersten und des letzten Wirbels in einer Reihe vergleicht.
Die Ausrichtung der Wirbel wechselt sich ab. Im oberen (bzw. unteren) Streifen befindet sich eine ungerade (bzw. gerade) Anzahl von Wirbeln.

Bemerkungen

Hier ein Artikel mit der mathematischen Beschreibung des römischen Mosaiks von Vichten.
Das geometrische Bild des Mosaiks kann reproduziert werden:
- mit Geogebra
- mit Polypad
- durch Ausschneiden von Karton (oder einem anderen Material)
- durch 3D-Druck.
Die künstlerischen Dekorationen im Vichten Mosaik und die Tesselierung mit Mosaikfliesen bieten weitere geometrische Formen und mathematische Aktivitäten. Andere römische Mosaike zeigen verschiedene geometrische Formen, zum Beispiel die Raute mit 45° Winkeln.

Vielen Dank an Marko Peric, Dany Alves Marques, Eduardo Rodrigues Da Costa, Maurice Desquiotz, João Rocha Figueiredo, Max Thill, Alexandre Benoist, Daniil Murzykaev.