Exploration mathématique de la mosaïque romaine de Vichten

Sangaku romain

Qu'est-ce qu'un Sangaku ?                                              

Réponse

• Les Sangakus sont un type particulier d'exercices de géométrie qui sont souvent présentés sous forme d'images sans texte.
• La convention tacite dans Sangakus est la suivante : "ce qui semble régulier, est régulier".

Décrivez les formes géométriques du carré central de la mosaïque de Vichten.

Réponse

En considérant uniquement les pièces disjointes de la tessellation, nous pouvons identifier les formes suivantes :

• des octogones réguliers (en deux tailles différentes)
• des triangles semi-carrés (en deux tailles différentes)
• des pentagones symétriques qui sont un carré avec un coin cassé

Nous aimerions également mentionner:

• une étoile à huit branches au milieu du carré
• un octogone régulier inscrit dans le cadre carré
• des carrés aux coins du cadre carré

Attribuer des tailles aux formes géométriques de la tessellation. Tailles : S = petite, M = moyenne, L = grande, XL = très grande.

Réponse

• Très Grande: Le cadre carré et son octogone inscrit sont de taille XL. Les quatre triangles aux coins du carré sont également de taille XL (parce qu' ils relient l'octogone et le carré de taille XL).
• Grande: L'octogone central et les deux carrés centraux qui circonscrivent l'octogone sont de taille L. Les huit triangles associés formant l'étoile à huit branches sont de taille L. Les quatre triangles au milieu des côtés du cadre carré sont également de taille L.
• Moyenne: Les huit octogones entourant l'octogone de taille L, et les huit triangles du cadre carré, sont de taille M.
• Petite: Les quatre carrés situés aux coins du cadre carré sont de taille S.

Décrivez le rapport entre les tailles
L et M.

Réponse

• Le rapport des longueurs est $\frac{\text{L}}{\text{M}}$ = $\sqrt{\text{2}}$.
• Pour s'en rendre compte, comparez les octogones de taille L et M en regardant le triangle entre eux.

Décrivez le rapport entre les tailles
XL et L.

Réponse

• Le rapport $\frac{\text{XL}}{\text{L}}$ = 1 + $\sqrt{\text{2}}$ peut être déduit de l'égalité $\text{XL=L+2M}$.
• Pour cette égalité, remarquez que l'octogone de taille L et deux octogones de taille M couvrent le côté du carré de taille XL.

Décrivez le rapport entre les tailles
L et S.

Réponse

• Le rapport $\frac{\text{L}}{\text{S}}$ = 2 peut être obtenu en combinant les égalités $\text{XL=2M+2S}$ et $\text{XL=2M+L}$.
• Pour obtenir les deux égalités, décomposer le côté du carré de taille XL. Premièrement, avec deux carrés de taille M et deux carrés de taille S. Deuxièmement, avec deux carrés de taille M et un carré de taille L.

Décrivez les rapports de longueur restants ainsi que les rapports des surfaces.

Réponse

• Les rapports de longueur restants peuvent être calculés comme des produits des rapports ci-dessus ou de leur inverse. Par exemple $\frac{\text{M}}{\text{S}}\text{=}\frac{\text{L}}{\text{S}}\frac{\text{M}}{\text{L}}\text{=}\sqrt{\text{2}}$.
• Le rapport des surfaces est le carré du rapport des longueurs, par exemple $\frac{\text{M²}}{\text{S²}}$ = 2.

Coins brisés

Lorsque vous dessinez un octogone sur une grille de 3x3, obtenez-vous un octogone régulier?

Réponse

À gauche, nous avons un octogone sur la grille carrée de 3x3.
À droite, nous avons un octogone régulier.
Ils ne sont pas les mêmes.

Décrivez l'octogone sur la grille 3x3.

Réponse

• L'octogone de la grille 3x3 possède quatre axes de symétrie.
• Il a une symétrie de rotation de 90°.
• Il y a deux longueurs de côtés différentes, dont le rapport est $\sqrt{\text{2}}$ .
• La hauteur est égale à trois fois la plus petite longueur des côtés.
• L'aire est 7/9 de l'aire du cadre carré.

Comparez le pentagone de la grille 2x2 et le pentagone de la mosaïque de Vichten.

Réponse

• Les deux pentagones sont irréguliers. Ils sont convexes et symétriques.
• Ils ont tous deux trois angles de 90° et deux angles de 135°.
• Le pentagone sur la grille carrée 2x2 a trois longueurs de côté qui sont proportionnelles à $\text{1}$, $\text{2}$, $\sqrt{\text{2}}$.
• Le pentagone de la mosaïque de Vichten a trois longueurs de côté qui sont proportionnelles à $\text{1}$, $\text{2}$, $\text{1 +}\sqrt{\text{2}}$ (il peut être utile de voir le pentagone comme un quart d'octogone régulier).

Étoiles à huit branches

Décrivez la construction des deux étoiles régulières à huit branches à l'intérieur d'un octogone régulier donné.

Réponse

• Les deux étoiles sont constituées de diagonales sélectionnées de l'octogone régulier.
• L'étoile 8/2 est donnée par les huit plus petites diagonales, parmi les sommets ayant deux côtés entre eux.
• L'étoile 8/3 est donnée par les huit diagonales intermédiaires, parmi les sommets ayant trois côtés entre eux.

Dessinez une étoile 8/3 à partir d'une étoile 8/2 et inversement.

Réponse

• À partir d'une étoile 8/2, prolongez les huit lignes. Vous obtenez huit points d'intersection supplémentaires qui sont les sommets d'une étoile 8/3.
• À partir d'une étoile 8/3, les segments à l'intérieur de l'étoile forment une étoile 8/2.

Motif de tresses

Inventez une stratégie pour compter le nombre de cordes distinctes vus dans le motif des tresses.

Réponse

Toutes les cordes sont des morceaux de cordes fermés. Pour les compter, nous pouvons procéder comme suit:

• Commencez par une corde, disons dans le coin supérieur gauche, et suivez son chemin jusqu'à atteindre son point de départ.
• Colorez toute la corde pour indiquer que nous l'avons déjà prise en compte.
• Sélectionnez une autre corde et répétez le processus jusqu'à ce que l'ensemble du motif soit coloré.

Il semble qu'il y ait 6 cordes si on inclut la corde octagonale au centre.

Voici cette image aussi en format PDF.

Motif de tourbillons

Décrivez la forme du tourbillon.

Réponse

• C'est l'union de quatre figures congruentes qui diffèrent par des rotations de 90°
• Chaque figure est composée de deux parties:
  La première partie est un demi-cercle sans deux demi-cercles (de la moitié de la taille).
  La deuxième partie est un demi-anneau qui continue comme un rectangle.

Décrivez l'illusion d'optique concernant les deux bandes de tourbillons "identiques" de le mosaïque de Vichten.

Réponse

• Les deux bandes rectangulaires ont la même surface.
• La différence du nombre de tourbillons contenus dans les deux rectangles se remarque en comparant l'orientation du premier et du dernier tourbillon d'une rangée.
• L'orientation des tourbillons alterne. Dans la bande dessus (respectivement du dessous), il y a un nombre impair (respectivement pair) de tourbillons.

Remarques

• Voici un article avec la description mathématique de la mosaïque romaine de Vichten.
• L'image géométrique de la mosaïque peut être reproduite
  • avec Geogebra
  • avec Polypad
  • en découpant du carton (ou un autre matériau)
  • en les imprimant en 3D.
• Les décorations artistiques de la mosaïque de Vichten et la tessellation avec des carreaux de mosaïque offrent davantage de formes géométriques et d'activités mathématiques. D'autres mosaïques romaines présentent différentes formes géométriques, par exemple le losange avec des angles de 45°.

Un grand merci à Marko Peric, Dany Alves Marques, Eduardo Rodrigues Da Costa, Maurice Desquiotz, João Rocha Figueiredo, Max Thill, Alexandre Benoist, Daniil Murzykaev.