Es ist praktisch, den Würfel als Schnittmenge von sechs Halbräumen zu betrachten, die durch seine Flächen bestimmt sind. Nämlich, der Würfel ist der Raum zwischen der Ober- und Unterfläche, geschnitten mit dem Raum zwischen der linken und rechten Fläche und mit dem Raum zwischen der vorderen und hinteren Fläche.
Um die Querschnitte des Würfels zu studieren: : anstatt die Ebene im Würfel zu sehen, es ist praktisch, den Würfel in der Ebene zu betrachten. Nämlich, wir können die Querschnitte mit ebener Geometrie studieren. Nehmen wir an, dass die Schnittebene nicht senkrecht zu einer Würfelfläche ist (ein einfacher Fall, den wir bereits behandelt haben). Dann ist der Raum zwischen der Ober- und Unterfläche, gesehen innerhalb der Schnittebene, der Streifen zwischen zwei parallelen Geraden. Das gleiche gilt für die andere Paaren von gegenüberliegenden Würfelflächen, was zu zwei weiteren Streifen führt.
Wegen unserer Annahme über die Schnittebene, die drei Streifen in der Ebene haben verschiedene Richtungen.
So ist die Schnittmenge zwischen dem Würfel und der Ebene, die nicht senkrecht zu einer Würfelfläche ist, die Schnittmenge zwischen drei Streifen in der Ebene mit verschiedenen Richtungen.
Welche Formen kann man durch das Schneiden von drei Streifen in der Ebene mit verschiedenen Richtungen erhalten?
Wir verwenden $xy$-Koordinaten in der Ebene und nennen die drei Streifen $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Durch eine geeignete Wahl des Koordinatensystems können wir einiges vereinfachen: Die Koordinaten müssen nicht orthonormal sein, denn ein affiner Koordinatenwechsel ändert den Typ des Durchschnitts nicht (die Anzahl der Ecken und die parallelen Seiten bleiben erhalten).
Wir können annehmen, dass $S_1$ von den Geraden $$x=0 \quad \text{und} \quad x=1$$ begrenzt wird.
Außerdem können wir annehmen, dass $S_2$ von den Geraden $$y=mx \quad \text{und} \quad y=mx+c \quad \text{mit} \quad c>0$$ begrenzt wird.
Schließlich können wir annehmen, dass $S_3$ von den Geraden
$$y=m'x+c'_1 \quad \text{und} \quad y=m'x+c'_2 \quad \text{mit} \quad c'_2>c'_1 \quad \text{und} \quad m'>m$$ begrenzt wird.
Denn falls $m'<m$ ist, bildet die affine Abbildung $(x,y)\mapsto(x,\,2mx+c-y)$ die Streifen $S_1$ und $S_2$ auf sich selbst ab und ersetzt $m'$ durch $2m-m'>m$ (und die Achsenabschnitte $c'_1<c'_2$ durch $c-c'_2<c-c'_1$).
Der Durchschnitt von $S_1$ und $S_2$ ist das Parallelogramm mit den Ecken $$(0,0) \quad (0,c) \quad (1,m) \quad (1,c+m) \,.$$
Nun müssen wir das Parallelogramm mit $S_3$ schneiden. Wir unterscheiden mehrere Fälle:
Falls $c_1'>c$, ist der Durchschnitt leer.
Falls $c_1'=c$, ist der Durchschnitt der Punkt $(0,c)$.
Von nun an nehmen wir $c_1' < c$ an.
Wir nehmen zunächst $0\leq c_1' < c$ an.
Falls $c'_2 \ge c$, besteht der Durchschnitt aus den Punkten des Parallelogramms, die oberhalb der Geraden $y=m'x+c_1'$ liegen.
Falls $m'+c_1' \ge m+c$, ist der Durchschnitt ein Dreieck.
Falls $m\leq m'+c_1' < m+c$$m'+c_1' < m+c$, erhalten wir ein Trapez, das kein Parallelogramm ist. Falls $m'+c_1' < m$, ist der Durchschnitt ein Dreieck.
Falls $c'_2 < c$, gilt:
Falls $m'+c_1'\geq m+c$, ist der Durchschnitt ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Falls $m'+c_1'< m+c$ und $m'+c_2'\geq m+c$$m'+c_2'> m+c$, ist der Durchschnitt ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten.
Falls $m'+c_2'< m+c$$m'+c_2'\leq m+c$, ist der Durchschnitt ein Parallelogramm.
Nun nehmen wir $c_1'< 0$ an.
Falls $m'+c'_1< m$, besteht der Durchschnitt aus den Punkten des Parallelogramms, die unterhalb der Geraden $y=m'x+c_2'$ liegen.
Falls $c_2' \geq c$, ist der Durchschnitt das ganze Parallelogramm.
Falls $0\leq c_2' < c$$0< c_2' < c$, gilt:
Falls $m'+c_2'\leq m+c$, ist der Durchschnitt ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Falls $m'+c_2'> m+c$, ist der Durchschnitt ein Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten.
Falls $c_2' < 0$$c_2' \leq 0$, gilt:
Falls $m'+c_2'> m+c$, ist der Durchschnitt ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Falls $m< m'+c_2'= m+c$$m< m'+c_2'\leq m+c$, ist der Durchschnitt ein Dreieck.
Falls $m'+c_2'=m$, ist der Durchschnitt der Punkt $(1,m)$.
Falls $m'+c_2' < m$, ist der Durchschnitt leer.
Nun nehmen wir $m'+c'_1\geq m$ an.
Falls $c_2'\geq c$, besteht der Durchschnitt aus den Punkten des Parallelogramms, die nicht unterhalb der Geraden $y=m'+c_1'$$y=m'x+c_1'$ liegen.
Falls $m'+c_1'>m+c$$m'+c_1'\geq m+c$, ist der Durchschnitt ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Falls $m< m'+c_1'\leq m+c$$m< m'+c_1'< m+c$, ist der Durchschnitt ein Dreieckein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten.
Falls $m'+c_1'=m$, ist der Durchschnitt der Punkt $(1,m)$das ganze Parallelogramm.
Falls $0\leq c_2' < c$$0< c_2' < c$, gilt:
Falls $m'+c_1'\leq m+c$, ist der Durchschnitt ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten.Falls $m<m'+c_1'$ und $m'+c_2'\leq m+c$, ist der Durchschnitt ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten.
Falls $m'+c_1'=m$ und $m'+c_2'\leq m+c$, ist der Durchschnitt ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Falls $m < m'+c_1'< m+c$ und $m'+c_2'>m+c$, ist der Durchschnitt ein konvexes Sechseck mit drei Paaren paralleler Seiten.
Falls $m'+c_1'=m$ und $m'+c_2'>m+c$, ist der Durchschnitt ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten.
Falls $m'+c_1'\geq m+c$, ist der Durchschnitt ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten.
Falls $c_2'< 0$$c_2'\leq 0$, gilt:
Falls $m'+c_1'\geq m+c$, ist der Durchschnitt ein Parallelogramm.
Falls $m< m'+c_1' < m+c$ und $m'+c_2'>m+c$, ist der Durchschnitt ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren paralleler Seiten.
Falls $m< m'+c_1' < m+c$ und $m'+c_2'\leq m+c$, ist der Durchschnitt ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Falls $m'+c_1'=m$ und $m'+c_2'>m+c$, ist der Durchschnitt ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Falls $m'+c_1'=m$ und $m'+c_2'\leq m+c$, ist der Durchschnitt ein Dreieck.
