Quelle est l'aire de la région marquée ?



Considérons les régions de la figure suivante.

Le triangle a un côté en commun avec le carré.
Le triangle est équilatéral car ses côtés sont des rayons de cercles congrus.
Le triangle équilatéral de côté \(1\) a une aire de \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\).

Les deux secteurs circulaires ont un rayon \(1\).
Puisque les angles du triangle équilatéral sont \(60^\circ\), l'angle au centre de chaque secteur circulaire est \(30^\circ\).
Ainsi, chaque secteur circulaire est un douzième de cercle de rayon \(1\).

L'aire de la région marquée est l'aire du carré moins l'aire du triangle équilatéral et l'aire des deux secteurs circulaires.
Donc elle vaut \[1-\dfrac{\sqrt{3}}{4}-2\cdot \dfrac{\pi}{12}=1-\dfrac{\sqrt{3}}{4}- \dfrac{\pi}{6}\,.\]