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Der belgische Mathematiker Eugène Charles Catalan hat 1844 vermutet,
dass die einzigen Lösungen der Gleichung
mit 
und
gegeben sind durch 
, 
, 
und 
bzw. 
.
Diese berühmte Vermutung wurde 2002 durch Preda Mihailescu bewiesen
und war eine der wissenschaftlichen Sensationen in jenem Jahr
(z.B. Spektrum der Wissenschaft berichtete).
Ganz im Gegensatz zu Wiles' Beweis der Fermatschen Vermutung gebraucht
Mihailescu nur Methoden, die Student(inn)en im
Hauptstudium zugänglich sind! Unser Ziel im Seminar ist es, den Beweis
möglichst vollständig zu verstehen.
Wir werden dabei hauptsächlich einer uns vorliegenden ersten Version eines geplanten Buches von René Schoof folgen ([S]), das im Grunde (mit wenigen Ausnahmen) nur elementare Kenntnisse der Algebra und der algebraischen Zahlentheorie voraussetzt. Daher sollten Teilnehmer auch die Vorlesung zur algebraischen Zahlentheorie besuchen. Der Beweis beruht auf der Theorie der Kreisteilungskörper, die wir im Seminar einführen werden.
Eine Kopie des Buches [S] wird Interessenten zur Verfügung gestellt.
Achtung: das Buch enthält noch eine Reihe von falschen Verweisen und anderen
kleineren Problemen. Wir werden eine Fehlerliste erstellen.
Weitere Informationen und Hilfestellungen gibt es bei Gabor Wiese (Zimmer M 115, Tel.: (0941) 943-2793, E-Mail: gabor.wiese@mathematik.uni-regensburg.de).
Vorträge:
(Michael Plesche und Tobias Schedlmeier), 26.04.2006
Der Vortrag soll zunächst einen kurzen geschichtlichen Überblick
über die Catalansche Vermutung geben (siehe z.B. [D]).
Beweise nun die Aufgaben 1.1 und 1.2. aus [S].
Dann sollen die Theoreme I,II und III und die Sätze von Lebesgue (Proposition 2.1)
und Ko Chao (Corollary 3.4) aus [S] formuliert werden, und
es soll gezeigt werden, wie die Catalansche Vermutung aus diesen folgt.
Abschließend soll der Satz von Lebesgue (der Fall ) bewiesen werden.
Dieser gebraucht die Arithmetik der Gaußschen Zahlen (siehe z.B.
[N], Abschnitt I.1).
(Michael Schweinfurter und Bernd Brandl), 03.05.2006
Der Vortrag soll Abschnitt 3 von [S] behandeln (inkl. der Aufgaben). Siehe aber auch [D].
Der Vortrag soll Abschnitt 4 von [S] behandeln (inkl. der benötigten Aufgaben). Eventuell kann man auch nach [M], Kapitel 1, vorgehen.
Es soll Abschnitt 6 aus [S] behandelt werden. Der Vortragende darf selbst entscheiden, ob er die Sprache von ``Runges Methode'' gebraucht, oder einfach den Argumenten im Buch folgt und alles zu ``Runges Methode'' auslässt. (Achtung: Die Referenzen zu den Aufgaben sind fast alle falsch.)
Behandele Abschnitt 7 von [S] bis einschließlich Proposition 7.3.
Erkläre und beweise (soweit die Zeit dies erlaubt) alle benötigten
Fakten zu Kreisteilungskörpern
(Ring der ganzen Zahlen, Galoisgruppe, Primideal über 
etc.).
Andere Referenzen sind der Anfang von [W] und Abschnitt I.10 aus [N].
und 
(Theorem IV) (Gerrit Kern und René Gerold),
31.05.2006
Behandele Abschnitt 8 von [S]. Beweise Theorem IV mit 5 anstatt 43. Siehe auch [D].
Führe das Stickelbergerideal ein und behandele Abschnitt 9 von [S] bis einschließlich Theorem 9.3. Dabei werden u.a. auch die verallgemeinerten Bernoulli-Zahlen eingeführt (siehe z.B. 7.4). Zusätzlich können auch [W] und [L] zu Rate gezogen werden.
Beweise Theorem 9.4 aus [S]. Anschließend behandele Abschnitt 10 aus [S].
Behandele Abschnitt 11 aus [S]. Siehe auch [D].
Behandele Abschnitt 12 aus [S].
Gib einen kurzen Überblick über Abschnitt 13 von [S] und behandele dann Abschnitt 14. Dabei soll Thaines Satz nur zitiert werden.
Gib einen Überblick über Abschnitt 15 von [S]. Voraussetzung ist die Kenntnis von Klassenkörpertheorie.