Download der Ankündigung.
Download des Programms.
Link zum Moodle-Kursraum (Passwort: AnZT).
Das Seminar findet dientags von 16-18 Uhr im Raum T03 R03 D75 statt.
Die analytische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, in dem man zahlentheoretische Probleme durch Verwendung analytischer Methoden zu lösen versucht. Es gibt viele Arten solcher Probleme. Im Seminar werden wir uns hauptsächlich mit der Verteilung der Primzahlen beschäftigen. Wir benutzen dabei die Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Variable.
Während des Seminars werden wir, unter anderem, den Primzahlsatz beweisen, der eine genaue Auskunft über die Verteilung der Primzahlen gibt. Er lautet so:
Satz. Die Anzahl der Primzahlen kleiner als x verhält sich asymptotisch wie x/log(x).
Dieser Satz wurde 1793 von Gauß vermutet und 1896 unabhängig von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesen. In beiden Beweisen spielt die sogenannte Riemannsche Zeta-Funktion eine sehr wichtige Rolle. Ihre analytischen Eigenschaften, die wichtig für den Primzahlsatz sind, sollen im Detail studiert werden. Wir werden in diesem Zusammenhang übrigens auch die berühmte Riemannsche Vermutung formulieren können, auf deren Lösung als eines, vielleicht das bedeutendste, der Millenium-Probleme ein Preisgeld von 1 Million Dollar ausgesetzt ist.
Ein anderer Satz, den wir beweisen werden, ist der Primzahlsatz für arithmetische Folgen:
Satz. Seien n und a teilerfremde positive ganze Zahlen. Sei E die Anzahl der invertierbaren Restklassen modulo n, d.h. E ist der Wert der Eulerschen Phi-Funktion bei n. Der Anteil der Primzahlen, die kongruent zu a modulo n sind, an allen Primzahlen ist gleich 1/E.
Für den Beweis brauchen wir, außer der Zeta-Funktion, die sogenannten Dirichletschen L-Reihen. Die wichtigste analytische Eigenschaft dieser Funktionen, die wir für den Beweis des Primzahlsatzes für arithmetische Folgen benötigen, ist, dass die L-Funktion bei 1 ungleich null ist.
Die Vorbesprechung findet am Montag, dem 20.7.2009, um 14.15 Uhr in T03 R02 D81 statt. Sollten Sie an diesem Termin verhindert sein oder ihn verpasst haben, senden Sie bitte eine E-Mail.
Voraussetzungen: Lineare Algebra und Analysis. Grundbegriffe der Algebra und Funktionentheorie, die bei Bedarf auch wiederholt werden.
Ein Leistungsnachweis wird erteilt für einen Vortrag, der den Kriterien Rechnung trägt, wie sie zum Beispiel hier beschrieben sind.
Zum Seminar gehört ein Tutorium, das von Dr. Johan Bosman veranstaltet wird. Jede(r) Vortragende(r) muss ihren/seinen Vortrag spätestens eine Woche vor dem Vortragstermin im Tutorium vollständig durchsprechen.
Last modification: 17. September 2009.