Sommersemester 2011 - Funktionentheorie

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Übungszettel

Blatt 1

Blatt 2

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Ziele und Inhalt der Vorlesung

Funktionentheorie ist Analysis in einer Variablen über den komplexen Zahlen. Im Gegensatz zur reellen Analysis, die Sie aus dem 1. Semester kennen, ist Funktionentheorie eine "heile Welt"! Es gilt nämlich zum Beispiel, dass eine Funktion, die einmal (komplex) differenzierbar ist, sogar automatisch beliebig oft (komplex) differenzierbar ist. Außerdem sind die Werte einer komplex differenzierbaren Funktion im Inneren einer Kreisscheibe bereits eindeutig durch die Werte auf dem Rand bestimmt. Daraus erhält man dann zum Beispiel den Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten hat eine Nullstelle.

Die Vorlesung Funktionentheorie ist im Mathematik-Studium ganz zentral und in eigentlich jedem Gebiet der Mathematik, einschließlich der Physik, spielen Methoden der Funktionentheorie eine wichtige Rolle. Zum Beispiel:

• Kein Buch über "mathematische Methoden der Physik" kommt ohne den Residuensatz und ohne die komplexe Exponentialfunktion aus, die beide ausführlich in der Vorlesung behandelt werden.
• Zur Berechnung von Integralen in der reellen Analysis ist es häufig notwendig, das Integral in der komplexen Ebene mit Methoden der Funktionentheorie auszuwerten. Davon sehen wir Beispiele in der Vorlesung.
• Bestimmte geometrische und topologische Konzepte werden in der Funktionentheorie zum ersten Mal in einem noch überschaubaren Rahmen sichtbar. Zum Beispiel besagt der (kleine) Riemannsche Abbildungssatz (der am Ende der Vorlesung bewiesen wird) unter anderem, dass jede sternförmige offene Teilmenge der komplexen Ebene durch eine komplex differenzierbare Abbildung bijektiv auf die Einheitskreisscheibe abgebildet werden kann. Plakativ ausgedrückt: Sternförmige Teilmengen und die Einheitskreisscheibe verhalten sich in der Welt der Funktionentheorie gleich! Solche Klassifizierungsaussagen sind Ziel einer ganzen Reihe weiterführender Disziplinen.
• Die Funktionentheorie stellt auch die Mittel bereit, wunderbare zahlentheoretische Aussagen zu beweisen. Zum Beispiel beweist man in Analytischer Zahlentheorie (kann direkt im Anschluss an die Funktionentheorie gehört werden), dass die Funktion pi(x), die die Primzahlen kleiner als x zählt, sich asymptotisch verhält wie x/log(x). Obwohl sich also im Kleinen keinerlei Muster bei der Verteilung der Primzahlen ablesen lässt, ist das Auftreten von Primzahlen im Großen ganz regelmäßig!

Inhalt:

• Komplexe Zahlen.
• Komplexwertige Funktionen und Differenzierbarkeit.
• Komplexe Integrationstheorie.
• Residuensatz.
• Riemannscher Abbildungssatz.

Von allen wird eine aktive Teilnahme an Vorlesungen und Übungen erwartet.

Zeit und Raum

Montags, 8.15 Uhr - 9.45 Uhr, T03 R04 D10.

Mittwochs, 8.15 Uhr - 9.45 Uhr, T03 R04 D10.

Beginn: Montag, 4. April 2011 um 8.15 Uhr.

Übungen: (siehe Vorlesung)

Zielgruppe

Die Vorlesung ist geeignet für Bachelor-Studierende und Studierende des Lehramts Gy/Ge ab dem 3. Semester. Als Vorkenntnis werden nur (Teile von) Analysis 1,2 und Linearer Algebra 1 benötigt.

Literatur

Eigentlich jedes der zahlreichen Lehrbücher zur Funktionentheorie. Zum Beispiel:
Freitag, Busam: Funktionentheorie, Springer-Lehrbuch.

Voraussetzungen

• Analysis 1,2; Lineare Algebra 1.
• Interesse an Mathematik.

Leistungsnachweis

Siehe Vorlesung.

Letzte Änderung: 19. April 2011.