Il est pratique de voir le cube comme l’intersection de six demi-espaces déterminés par ses faces. Notamment, le cube est l’espace entre la face supérieure et la face inférieure, intersecté avec l’espace entre la face gauche et la face droite, et avec l’espace entre la face avant et la face arrière.
Pour étudier les sections du cube : : au lieu de voir le plan dans le cube, il est pratique de voir le cube dans le plan. Notamment, nous pouvons étudier les sections avec de la géométrie plane. Supposons que le plan de coupure n’est pas perpendiculaire à une face du cube (un cas simple que nous avons déjà abordé). Alors l’espace entre la face supérieure du cube et la face inférieure du cube, vu dans le plan de coupure, est la bande entre deux droites parallèles. Le même reste vrai pour les autres deux paires de faces opposées du cube, ce qui résulte en deux autres bandes.
À cause de notre hypothèse sur le plan de coupure, les trois bandes dans le plan ont des directions distinctes.
Alors, l’intersection entre le cube et un plan qui n’est pas perpendiculaire à une face du cube est l’intersection entre trois bandes dans le plan avec directions distinctes.
Quelles formes peuvent être obtenues en intersectant trois bandes dans le plan avec directions distinctes ?
Nous utilisons des coordonnées $xy$ dans le plan et nous appelons $S_1$, $S_2$ et $S_3$ les trois bandes. Nous pouvons simplifier en choisissant le système de coordonnées de manière appropriée : les coordonnées ne doivent pas forcément être orthonormées, car un changement de coordonnées affine ne change pas le type de l'intersection (le nombre de sommets et les côtés parallèles sont préservés).
Nous pouvons supposer que $S_1$ est délimitée par les droites $$x=0 \quad \text{et} \quad x=1 \,.$$
De plus, nous pouvons supposer que $S_2$ est délimitée par les droites $$y=mx \quad \text{et} \quad y=mx+c \quad \text{avec} \quad c>0 \,.$$
Enfin, nous pouvons supposer que $S_3$ est délimitée par les droites
$$y=m'x+c'_1 \quad \text{et} \quad y=m'x+c'_2 \quad \text{avec} \quad c'_2>c'_1 \quad \text{et} \quad m'>m \,.$$
En effet, si $m'<m$, l'application affine $(x,y)\mapsto(x,\,2mx+c-y)$ envoie $S_1$ et $S_2$ sur elles-mêmes et remplace $m'$ par $2m-m'>m$ (et les ordonnées à l'origine $c'_1<c'_2$ par $c-c'_2<c-c'_1$).
L'intersection de $S_1$ et $S_2$ est le parallélogramme de sommets $$(0,0) \quad (0,c) \quad (1,m) \quad (1,c+m) \,.$$
Il faut maintenant intersecter le parallélogramme avec $S_3$. Nous avons plusieurs cas :
Si $c_1'>c$, l'intersection est vide.
Si $c_1'=c$, l'intersection est le point $(0,c)$.
Désormais, nous supposons que $c_1' < c$.
Supposons d'abord que $0\leq c_1' < c$.
Si $c'_2 \ge c$, l'intersection est formée des points du parallélogramme qui se trouvent au-dessus de la droite $y=m'x+c_1'$.
Si $m'+c_1' \ge m+c$, l'intersection est un triangle.
Si $m\leq m'+c_1' < m+c$$m'+c_1' < m+c$, nous obtenons un trapèze qui n'est pas un parallélogramme. Si $m'+c_1' < m$, l'intersection est un triangle.
Si $c'_2 < c$, nous avons :
Si $m'+c_1'\geq m+c$, l'intersection est un trapèze qui n'est pas un parallélogramme.
Si $m'+c_1'< m+c$ et $m'+c_2'\geq m+c$$m'+c_2'> m+c$, l'intersection est un pentagone convexe ayant deux paires de côtés parallèles.
Si $m'+c_2'< m+c$$m'+c_2'\leq m+c$, l'intersection est un parallélogramme.
Supposons maintenant que $c_1'< 0$.
Si $m'+c'_1< m$, l'intersection est formée des points du parallélogramme qui se trouvent au-dessous de la droite $y=m'x+c_2'$.
Si $c_2' \geq c$, l'intersection est le parallélogramme entier.
Si $0\leq c_2' < c$$0< c_2' < c$, nous avons :
Si $m'+c_2'\leq m+c$, l'intersection est un trapèze qui n'est pas un parallélogramme.
Si $m'+c_2'> m+c$, l'intersection est un pentagone ayant deux paires de côtés parallèles.
Si $c_2' < 0$$c_2' \leq 0$, nous avons :
Si $m'+c_2'> m+c$, l'intersection est un trapèze qui n'est pas un parallélogramme.
Si $m< m'+c_2'= m+c$$m< m'+c_2'\leq m+c$, l'intersection est un triangle.
Si $m'+c_2'=m$, l'intersection est le point $(1,m)$.
Si $m'+c_2' < m$, l'intersection est vide.
Supposons maintenant que $m'+c'_1\geq m$.
Si $c_2'\geq c$, l'intersection est formée des points du parallélogramme qui ne se trouvent pas au-dessous de la droite $y=m'+c_1'$$y=m'x+c_1'$.
Si $m'+c_1'>m+c$$m'+c_1'\geq m+c$, l'intersection est un trapèze qui n'est pas un parallélogramme.
Si $m< m'+c_1'\leq m+c$$m< m'+c_1'< m+c$, l'intersection est un triangleun pentagone convexe ayant deux paires de côtés parallèles.
Si $m'+c_1'=m$, l'intersection est le point $(1,m)$le parallélogramme entier.
Si $0\leq c_2' < c$$0< c_2' < c$, nous avons :
Si $m'+c_1'\leq m+c$, l'intersection est un pentagone convexe ayant deux paires de côtés parallèles.Si $m<m'+c_1'$ et $m'+c_2'\leq m+c$, l'intersection est un pentagone convexe ayant deux paires de côtés parallèles.
Si $m'+c_1'=m$ et $m'+c_2'\leq m+c$, l'intersection est un trapèze qui n'est pas un parallélogramme.
Si $m < m'+c_1'< m+c$ et $m'+c_2'>m+c$, l'intersection est un hexagone convexe ayant trois paires de côtés parallèles.
Si $m'+c_1'=m$ et $m'+c_2'>m+c$, l'intersection est un pentagone convexe ayant deux paires de côtés parallèles.
Si $m'+c_1'\geq m+c$, l'intersection est un pentagone convexe ayant deux paires de côtés parallèles.
Si $c_2'< 0$$c_2'\leq 0$, nous avons :
Si $m'+c_1'\geq m+c$, l'intersection est un parallélogramme.
Si $m< m'+c_1' < m+c$ et $m'+c_2'>m+c$, l'intersection est un pentagone convexe ayant deux paires de côtés parallèles.
Si $m< m'+c_1' < m+c$ et $m'+c_2'\leq m+c$, l'intersection est un trapèze qui n'est pas un parallélogramme.
Si $m'+c_1'=m$ et $m'+c_2'>m+c$, l'intersection est un trapèze qui n'est pas un parallélogramme.
Si $m'+c_1'=m$ et $m'+c_2'\leq m+c$, l'intersection est un triangle.
