Lors de certaines élections, les électeurs sont répartis en groupes. Dans chaque groupe, un gagnant est désigné, et pour remporter l’élection, il faut gagner dans la majorité des groupes. Par exemple, supposons qu’Alex et Kim se présentent pour devenir délégué(e) des élèves dans ton école. Chaque classe peut exprimer une préférence, et le candidat qui gagne dans le plus grand nombre de classes devient le délégué des élèves.
Le gerrymandering (ou charcutage électoral en français) consiste à dessiner les groupes de manière à favoriser un candidat. Par exemple, si les sondages montrent qu’Alex obtient de meilleurs résultats lorsque les élèves sont regroupés par niveau scolaire plutôt que par classe, alors diviser les électeurs par année au lieu de par classe donnerait un avantage à Alex. Si le président de l’école redéfinit ainsi les groupes pour avantager Alex, c’est un cas typique de gerrymandering.
Neuf électeurs doivent choisir entre les candidats A et B. Voici leurs votes :
Qui gagne l’élection ? Comment le candidat B pourrait-il gagner grâce au gerrymandering, si l’on regroupe les électeurs par groupes de 3 ?
A reçoit 5 voix sur 9, donc A gagne si l’on compte simplement les votes favorables. Si l’on regroupe les électeurs par ligne (ou par colonne), A gagne toujours en remportant 2 des 3 groupes.
Mais le candidat B peut pratiquer le gerrymandering en choisissant les regroupements comme suit :
Dans ce cas, B gagne dans 2 des 3 groupes, et remporte donc l’élection.
Supposons que les candidats A et B s’affrontent dans une élection avec 81 électeurs répartis en groupes de 9. Si A dispose de sondages très précis (donc sait à l’avance qui votera pour qui) et peut pratiquer le gerrymandering, quel est le nombre minimal de votes favorables dont A a besoin pour gagner l’élection ?
Pour gagner dans un groupe, A a besoin de 5 votes favorables sur 9. Et il doit gagner dans au moins 5 groupes sur 9. Donc, pour gagner avec le minimum de voix, A doit remporter exactement 5 groupes, avec 5 votes favorables dans chacun (et aucun vote favorable dans les groupes restants). Cela donne un total de 25 électeurs favorables, suffisants pour garantir au parti A la victoire par gerrymandering.
Supposons maintenant que les candidats A et B s’affrontent dans une élection, et qu’il y ait 100 électeurs, répartis en groupes de 10. Si A dispose de sondages très précis (donc sait à l’avance qui votera pour qui) et peut pratiquer le gerrymandering, quel est le nombre minimal de votes favorables dont A a besoin pour gagner l’élection ?
On montre que 35 voix favorables suffisent pour qu’A remporte l’élection. Remarquons que pour gagner dans un groupe, A a besoin de 6 votes favorables, tandis que pour faire égalité dans un groupe, il lui faut 5 votes favorables.
Supposons que le candidat A gagne dans $w$ groupes et fasse égalité dans $t$ groupes. Alors, le candidat B fait égalité dans ces mêmes $t$ groupes et gagne les $10 – w – t$ groupes restants.
Le candidat A gagne alors l’élection si w > 10 - w - t, c-à-d si la condition suivante est vérifiée :
$$2w+t>10$$
Si $t = 0$, il faut alors $w \geq 6$ et donc A aurait besoin de 36 votes (pour gagner dans 6 groupes).
Si $t$ est pair et strictement positif, on peut diminuer $t$ de 1 tout en gardant l’inégalité, donc ce cas peut être écarté.
Si $t = 1$, alors il faut $w \geq 5$ et donc A aurait besoin de 35 votes (pour gagner dans 5 groupes et avoir égalité dans 1 groupe).
Si $t$ est impair et strictement supérieur à 1, alors on peut diminuer $t$ de 2 et augmenter $w$ de 1, ce qui permet d’économiser 4 votes. Donc ce cas aussi peut être écarté.
