In einer Wahl treten zwei Kandidaten gegeneinander an. Angenommen, es gibt $G$ Wählergruppen, und jede Gruppe besteht aus $V$ Wählern (wobei $G \geq 2$ und $V \geq 3$ gilt). Angenommen einer der Kandidaten verfügt über sehr genaue Informationen aus Umfragen und kann Gerrymandering betreiben: Wie viele befürwortende Wähler benötigt dieser Kandidat mindestens, um die Wahl zu gewinnen? Und wie hoch ist ungefähr der benötigte Prozentsatz an Stimmen, wenn $G$ und $V$ sehr groß sind?
Sei
$g$ die kleinste ganze Zahl, die größer als $G/2$ ist
$v$ die kleinste ganze Zahl, die größer als $V/2$ ist
Dann werden wir zeigen, dass der Kandidat insgesamt $gv$ befürwortende Stimmen benötigt. Außer beide Zahlen $G$ und $V$ sind gerade, in diesem Fall reicht $$gv - 1$$ Stimme aus.
Dann liegt im ersten Fall der benötigte Stimmenanteil über 25 %, weil: $$gv > (G/2)(V/2)$$
und im zweiten Fall gilt das, weil $$gv−1 = (G/2+1)(V/2+1)−1 > (G/2)(V/2)$$
Wenn $G$ und $V$ sehr groß sind, dann ist $g$ ungefähr $G/2$ und $v$ ungefähr $V/2$, sodass $gv - 1$ nahezu $gv$ entspricht. Daraus schließen wir, dass der benötigte Stimmenanteil etwa bei 25 % liegt.
Angenommen, $V$ ist ungerade: Dann ist ein Unentschieden in einer Gruppe nicht möglich. In diesem Fall ist $g$ die minimale Anzahl an Gruppen, die gewonnen werden müssen, um die Wahl zu gewinnen, und $v$ die minimale Anzahl an Stimmen, die erforderlich ist, um eine Gruppe zu gewinnen. Daraus folgt, dass die minimal benötigte Gesamtanzahl an Stimmen $gv$ beträgt.
Angenommen, $V$ ist gerade, dann ist ein Unentschieden in einer Gruppe möglich denn, um eine Gruppe zu gewinnen, benötigt ein Kandidat $V/2 + 1$ Stimmen, und für ein Unentschieden reichen $V/2$ Stimmen.
Angenommen, Kandidat A gewinnt in $w$ Gruppen und erreicht ein Unentschieden in $t$ Gruppen. Dann erreicht Kandidat B ebenfalls ein Unentschieden in diesen $t$ Gruppen und gewinnt in den übrigen $G - w - t$ Gruppen. Kandidat A gewinnt also die Wahl, wenn $w > G - w - t$, also wenn gilt:
$$2w + t > G$$
Angenommen, $G$ ist ungerade. Dann kann man (indem man $t$ ggf. um 1 verringert) annehmen, dass $t$ gerade ist. Wenn $t = 0$, können wir wie im vorherigen Fall argumentieren und erhalten, dass der Kandidat genau $gv$ Stimmen benötigt, um die Wahl zu gewinnen. Wenn $t \geq 2$, kann man $t$ um 2 verringern und $w$ um 1 erhöhen, wodurch man Stimmen einspart und dieser Fall kann ausgeschlossen werden.
Angenommen, $G$ ist gerade. Dann gilt: $t = 0$ oder (durch Reduktion um 1) wir nehmen an, dass $t$ ungerade ist. Wenn $t = 1$, benötigt man eine Stimme weniger als im Fall $t = 0$, also genau $gv - 1$ Stimmen (weil im Fall von $t=1$, die Reduzierung um 1 impliziert, dass $w$ von 1 erhöht werden muss). Wenn $t$ ungerade und größer als 1 ist, kann man $t$ um 2 verringern und $w$ um 1 erhöhen, wodurch insgesamt weniger Stimmen nötig sind und auch dieser Fall kann ausgeschlossen werden.
In einer Wahl mit $N$ Wählern (wobei $N \geq 3$) treten zwei Kandidaten gegeneinander an. Angenommen, einer der Kandidaten kann Gerrymandering unter einer extremen Form betreiben, das heißt, er darf nicht nur entscheiden, welche Wähler zu welchen Gruppen gehören, sondern auch wie viele Gruppen es gibt und wie viele Wähler jede Gruppe enthält. Wie viele befürwortende Stimmen benötigt dieser Kandidat mindestens, um die Wahl unter solchen Bedingungen zu gewinnen?
Eine einzige befürwortende Stimme reicht nicht aus, denn mit nur einem Unterstützer kann der Kandidat höchstens eine Gruppe gewinnen und falls es nur eine Gruppe gibt, hätte er dort keine Mehrheit.
Zwei befürwortende Stimmen reichen jedoch aus (unabhängig davon, wie groß $N$ ist). Tatsächlich kann der Kandidat drei Gruppen bilden: zwei Gruppen bestehen jeweils aus einem unterstützenden Wähler, und die dritte Gruppe enthält alle übrigen Wähler. So gewinnt der Kandidat 2 von 3 Gruppen und damit die gesamte Wahl.