Was ist der Flächeninhalt des markierten Bereichs?



Durch weiteres Heranzoomen erhalten wir das folgende qualitative Bild:

Koordinatendiagramm mit den drei Kreisen

Mit Koordinaten, sodass der Ursprung der obere linke Quadratscheitel ist, werden die drei Kreise, die die Kreisbögen ergeben, durch folgende Gleichungen beschrieben: \[ \mathcal{C}_1 : x^2 + (y-1)^2 = 1, \qquad \mathcal{C}_2 : (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1, \qquad \mathcal{C}_3 : \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\tfrac{1}{16}\right)^2 = \tfrac{1}{256}. \] Der Punkt \(A\) ist der Schnittpunkt von \(\mathcal{C}_1\) und \(\mathcal{C}_3\), der innerhalb des Quadrats liegt, also gilt \[ A = \left(\tfrac{8}{17},\, \tfrac{2}{17}\right). \] Durch Symmetrie bezüglich der Geraden \(x=\frac{1}{2}\) erhalten wir \[ B = \left(\tfrac{9}{17},\, \tfrac{2}{17}\right). \] Der Punkt \(C\) ist der Schnittpunkt von \(\mathcal{C}_1\) und \(\mathcal{C}_2\), der innerhalb des Quadrats liegt, also ist er \[ C = \left(\tfrac{1}{2},\, \tfrac{2-\sqrt{3}}{2}\right). \] Aus diesen Koordinaten können wir die Längen berechnen: \[ |AB| = \tfrac{1}{17}, \] \[ |AC| = |BC| = \dfrac{\sqrt{442 - 255\sqrt{3}}}{17}. \]
Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks \(\triangle ABC\) beträgt dann \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17} \cdot \sqrt{\left(\frac{\sqrt{442-255\sqrt{3}}}{17}\right)^{\!2} - \left(\frac{1}{34}\right)^{\!2}} = \frac{30 - 17\sqrt{3}}{1156}. \]
Um den Flächeninhalt der drei Kreissegmente innerhalb des Dreiecks \(\triangle ABC\) zu berechnen, verwenden wir eine bekannte Formel, die die Arkussinusfunktion beinhaltet.
Der Flächeninhalt eines Kreissegments mit Radius \(r\) und Sehnenlänge \(\ell\) beträgt \[r^2 \arcsin\!\left(\dfrac{\ell}{2r}\right)- \dfrac{\ell}{2}\sqrt{r^2 - \left(\dfrac{\ell}{2}\right)^{\!2}}\].
Die Kreissegmente an den Seiten \(\overline{AC}\) und \(\overline{BC}\) haben den Radius \(1\), daher beträgt ihr Flächeninhalt \[\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{442-255\sqrt{3}}}{34}\right) - \dfrac{15 - 8\sqrt{3}}{68}\,.\] Das Kreissegment an der Seite \(\overline{AB}\) hat den Radius \(\tfrac{1}{16}\), siehe , daher beträgt sein Flächeninhalt \[\dfrac{1}{256}\arcsin\!\left(\dfrac{8}{17}\right) - \dfrac{15}{9248}\,.\]
Der Flächeninhalt des markierten Bereichs kann erhalten werden, indem man von der Dreiecksfläche die Flächeninhalte der drei Kreissektoren subtrahiert: \[ \frac{30-17\sqrt{3}}{1156} - 2\left(\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{442-255\sqrt{3}}}{34}\right) - \frac{15-8\sqrt{3}}{68}\right) - \frac{1}{256}\arcsin\!\left(\frac{8}{17}\right) + \frac{15}{9248}\,. \] Dieser Ausdruck lässt sich vereinfachen zu \[ \frac{15}{32} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} + \frac{255}{256}\arcsin\!\left(\frac{8}{17}\right)\,. \]