Quelle est l'aire de la région marquée ?



En zoomant davantage, on obtient la figure qualitative suivante :

Repère avec les trois cercles

En choisissant un repère tel que l'origine soit le sommet supérieur gauche du carré, les trois cercles donnant les arcs de cercle sont décrits par les équations \[ \mathcal{C}_1 : x^2 + (y-1)^2 = 1, \qquad \mathcal{C}_2 : (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1, \qquad \mathcal{C}_3 : \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\tfrac{1}{16}\right)^2 = \tfrac{1}{256}. \] Le point \(A\) est le point d'intersection de \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_3\) qui se trouve à l'intérieur du carré, donc \[ A = \left(\tfrac{8}{17},\, \tfrac{2}{17}\right). \] Par symétrie par rapport à la droite \(x=\frac{1}{2}\) on obtient \[ B = \left(\tfrac{9}{17},\, \tfrac{2}{17}\right). \] Le point \(C\) est le point d'intersection de \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) qui se trouve à l'intérieur du carré, donc \[ C = \left(\tfrac{1}{2},\, \tfrac{2-\sqrt{3}}{2}\right). \] À partir de ces coordonnées, on peut calculer les longueurs \[ AB = \tfrac{1}{17}, \] \[ AC = BC = \dfrac{\sqrt{442 - 255\sqrt{3}}}{17}. \]
L'aire du triangle isocèle \(\triangle ABC\) est alors \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17} \cdot \sqrt{\left(\frac{\sqrt{442-255\sqrt{3}}}{17}\right)^{\!2} - \left(\frac{1}{34}\right)^{\!2}} = \frac{30 - 17\sqrt{3}}{1156}. \]
Pour calculer l'aire des trois segments circulaires à l'intérieur du triangle \(\triangle ABC\), on applique une formule connue faisant intervenir la fonction arcsinus.
L'aire d'un segment circulaire de rayon \(r\) et de corde de longueur \(\ell\) est \[r^2 \arcsin\!\left(\dfrac{\ell}{2r}\right)- \dfrac{\ell}{2}\sqrt{r^2 - \left(\dfrac{\ell}{2}\right)^{\!2}}\].
Les segments circulaires aux côtés \([AC]\) et \([BC]\) ont un rayon \(1\), donc leur aire est \[\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{442-255\sqrt{3}}}{34}\right) - \dfrac{15 - 8\sqrt{3}}{68}\,.\] Le segment circulaire au côté \([AB]\) a un rayon \(\tfrac{1}{16}\), voir , donc son aire est \[\dfrac{1}{256}\arcsin\!\left(\dfrac{8}{17}\right) - \dfrac{15}{9248}\,.\]
L'aire de la région marquée s'obtient en soustrayant de l'aire du triangle les aires des trois secteurs circulaires : \[ \frac{30-17\sqrt{3}}{1156} - 2\left(\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{442-255\sqrt{3}}}{34}\right) - \frac{15-8\sqrt{3}}{68}\right) - \frac{1}{256}\arcsin\!\left(\frac{8}{17}\right) + \frac{15}{9248}\,. \] Cette expression peut être simplifiée en \[ \frac{15}{32} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} + \frac{255}{256}\arcsin\!\left(\frac{8}{17}\right)\,. \]