Quelle est l'aire de la région marquée ?



La région marquée est un octogone.
Tous les côtés ont pour longueur \(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\), voir .
Les angles de l'octogone alternent entre \(120^\circ\) et \(150^\circ\).


L'octogone est un carré privé de quatre triangles congrus.
Ces triangles ont une aire de \(\dfrac{7\sqrt{3}-12}{24}\), voir .
Le carré a un côté de longueur \[\dfrac{1}{2} - \dfrac{2-\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\] voir , et .
Donc l'aire de l'octogone est \[ \left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2 - 4\cdot \dfrac{7\sqrt{3}-12}{24} = 3-\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\,.\]