Ecken und Sterne

Im ersten Bild haben wir ein Achteck im 3x3 Quadratgitter. Im zweiten Bild haben wir ein regelmäßiges Achteck. Sie sind nicht gleich.
Das Achteck im 3x3 Gitter hat vier Symmetrieachsen. Es hat eine 90° Rotationssymmetrie. Es gibt zwei verschiedene Seitenlängen, deren Verhältnis $\sqrt{\text{2}}$ ist. Die Höhe beträgt das Dreifache der kürzeren Seitenlängen. Der Flächeninhalt ist 7/9 vom Flächteninhalt des quadratischen Rahmens.

Die beiden Fünfecke sind unregelmäßig. Sie sind konvex und symmetrisch. Sie haben beide drei 90° Winkel und zwei 135° Winkel.
Das Fünfeck im 2x2-Quadratgitter hat drei Seitenlängen, die proportional zu $\text{1}$, $\text{2}$, $\sqrt{\text{2}}$ sind.
Das Fünfeck aus dem Vichten Mosaik hat drei Seitenlängen, die proportional zu $\text{1}$, $\text{2}$, $\text{1 +}\sqrt{\text{2}}$ sind (es kann hilfreich sein, das Fünfeck als ein Viertel eines regelmäßigen Achtecks zu betrachten).

Die beiden Sterne bestehen aus ausgewählten Diagonalen des regelmäßigen Achtecks. Der 8/2 Stern wird durch die acht kleinsten Diagonalen gebildet, wobei sich jeweils 2 Seiten dazwischen befinden. Der 8/3 Stern wird durch die acht mittleren Diagonalen gebildet, wobei sich jeweils 3 Seiten dazwischen befinden.

Ausgehend von einem 8/2 Stern verlängere die acht Linien. Dadurch erhälst Du acht zusätzliche Schnittpunkte, die die Ecken eines 8/3 Sterns bilden.
Ausgehend von einem 8/3 Stern bilden die Segmente im Inneren des Sterns einen 8/2 Stern.