Coins et Étoiles

Dans la première image, nous avons un octogone sur la grille carrée de 3x3. Dans la deuxième image, nous avons un octogone régulier. Ils ne sont pas les mêmes.
L'octogone de la grille 3x3 possède quatre axes de symétrie. Il a une symétrie de rotation de 90°. Il y a deux longueurs de côtés différentes, dont le rapport est $\sqrt{\text{2}}$. La hauteur est égale à trois fois la plus petite longueur des côtés. L'aire est 7/9 de l'aire du cadre carré.

Les deux pentagones sont irréguliers. Ils sont convexes et symétriques. Ils ont tous deux trois angles de 90° et deux angles de 135°.
Le pentagone sur la grille carrée 2x2 a trois longueurs de côté qui sont proportionnelles à $\text{1}$, $\text{2}$, $\sqrt{\text{2}}$.
Le pentagone de la mosaïque de Vichten a trois longueurs de côté qui sont proportionnelles à $\text{1}$, $\text{2}$, $\text{1 +}\sqrt{\text{2}}$ (il peut être utile de voir le pentagone comme un quart d'octogone régulier).

Les deux étoiles sont constituées de diagonales sélectionnées de l'octogone régulier. L'étoile 8/2 est donnée par les huit plus petites diagonales, parmi les sommets ayant deux côtés entre eux. L'étoile 8/3 est donnée par les huit diagonales intermédiaires, parmi les sommets ayant trois côtés entre eux.

À partir d'une étoile 8/2, prolongez les huit lignes. Vous obtenez huit points d'intersection supplémentaires qui sont les sommets d'une étoile 8/3.
À partir d'une étoile 8/3, les segments à l'intérieur de l'étoile forment une étoile 8/2.