Sangaku romain

Qu'est-ce qu'un Sangaku ?

Les Sangakus sont un type particulier d'exercices de géométrie qui sont souvent présentés sous forme d'images sans texte.

La convention tacite dans Sangakus est la suivante : "ce qui semble régulier, est régulier".

Décrivez les formes géométriques du carré central de la mosaïque de Vichten.

Réponse

Attribuer des tailles aux formes géométriques de la tessellation.
Tailles : S = petite, M = moyenne, L = grande, XL = très grande.

Réponse

• Très Grande: Le cadre carré et son octogone inscrit sont de taille XL. Les quatre triangles aux coins du carré sont également de taille XL (parce qu' ils relient l'octogone et le carré de taille XL).
• Grande: L'octogone central et les deux carrés centraux qui circonscrivent l'octogone sont de taille L. Les huit triangles associés formant l'étoile à huit branches sont de taille L. Les quatre triangles au milieu des côtés du cadre carré sont également de taille L.
• Moyenne: Les huit octogones entourant l'octogone de taille L, et les huit triangles du cadre carré, sont de taille M.
• Petite: Les quatre carrés situés aux coins du cadre carré sont de taille S.

• Décrivez le rapport des longueurs entre les tailles L et M.
• Décrivez le rapport des longueurs entre les tailles XL et L.
• Décrivez le rapport des longueurs entre les tailles L et S.
• Décrivez les rapports de longueur restants ainsi que les rapports des surfaces.

Réponse

• Le rapport des longueurs L et M est $\frac{\text{L}}{\text{M}}$ = $\sqrt{\text{2}}$.
  Pour s'en rendre compte, comparez les octogones de taille L et M en regardant le triangle entre eux.
• Le rapport des longueurs XL et L $\frac{\text{XL}}{\text{L}}$ = 1 + $\sqrt{\text{2}}$ peut être déduit de l'égalité $\text{XL=L+2M}$.
  Pour cette égalité, remarquez que l'octogone de taille L et deux octogones de taille M couvrent le côté du carré de taille XL.
• Le rapport des longueurs L et S $\frac{\text{L}}{\text{S}}$ = 2 peut être obtenu en combinant les égalités $\text{XL=2M+2S}$ and $\text{XL=2M+L}$.
  Pour obtenir les deux égalités, décomposer le côté du carré de taille XL. Premièrement, avec deux carrés de taille M et deux carrés de taille S. Deuxièmement, avec deux carrés de taille M et un carré de taille L.
• Les rapports de longueur restants peuvent être calculés comme des produits des rapports ci-dessus ou de leur inverse. Par exemple $\frac{\text{M}}{\text{S}}\text{=}\frac{\text{L}}{\text{S}}\frac{\text{M}}{\text{L}}\text{=}\sqrt{\text{2}}$.
  Le rapport des surfaces est le carré du rapport des longueurs, par exemple $\frac{\text{M²}}{\text{S²}}$ = 2.