Es ist praktisch, den Würfel als Schnittmenge von sechs Halbräumen zu betrachten, die durch seine Flächen bestimmt sind. Nämlich, der Würfel ist der Raum zwischen der Ober- und Unterfläche, geschnitten mit dem Raum zwischen der linken und rechten Fläche und mit dem Raum zwischen der vorderen und hinteren Fläche.
Um die Querschnitte des Würfels zu studieren: : anstatt die Ebene im Würfel zu sehen, es ist praktisch, den Würfel in der Ebene zu betrachten. Nämlich, wir können die Querschnitte mit ebener Geometrie studieren. Nehmen wir an, dass die Schnittebene nicht senkrecht zu einer Würfelfläche ist (ein einfacher Fall, den wir bereits behandelt haben). Dann ist der Raum zwischen der Ober- und Unterfläche, gesehen innerhalb der Schnittebene, der Streifen zwischen zwei parallelen Geraden. Das gleiche gilt für die andere Paaren von gegenüberliegenden Würfelflächen, was zu zwei weiteren Streifen führt.
Wegen unserer Annahme über die Schnittebene, die drei Streifen in der Ebene haben verschiedene Richtungen.
So ist die Schnittmenge zwischen dem Würfel und der Ebene, die nicht senkrecht zu einer Würfelfläche ist, die Schnittmenge zwischen drei Streifen in der Ebene mit verschiedenen Richtungen.
Welche Formen kann man durch das Schneiden von drei Streifen in der Ebene mit verschiedenen Richtungen erhalten?
Wir benutzen $xy$-Koordinaten in der Ebene und wir nennen die drei Streifen $S_1$, $S_2$, und $S_3$. Wir können Vereinfachungen durch das geeignete Wählen des Koordinatensystems machen.
Wir können annehmen, dass $S_1$ beschränkt ist durch die Geraden $$x=0 \quad \text{und} \quad x=1 \,.$$ Außerdem, wir können annehmen, dass $S_2$ beschränkt ist durch die Geraden $$y=mx \quad \text{und} \quad y=mx+c \quad \text{mit} \quad c>0 \,.$$ Schließlich, wir können annehmen, dass $S_3$ beschränkt ist durch die Geraden
$$y=m'x+c'_1 \quad \text{und} \quad y=m'x+c'_2 \quad \text{mit} \quad c'_2>c'_1 \quad \text{und} \quad m'>m \,.$$
Die Schnittmenge zwischen $S_1$ und $S_2$ ist das Parallelogramm mit Eckpunkten $$(0,0) \quad (0,c) \quad (1,m) \quad (1,c+m) \,.$$
Jetzt müssen wir das Parallelogramm mit $S_3$ schneiden. Wir haben verschiedene Fälle:
Wenn $c_1'>c$, ist die Schnittmenge leer.
Wenn $c_1'=c$, ist die Schnittmenge der Punkt $(0,c)$.
Von jetzt an werden wir annehmen, dass $c_1' \lt c$.
Nehmen wir zuerst an, dass $0\leq c_1' \lt c$.
Wenn $c'_2 \ge c$, besteht die Schnittmenge aus Punkten des Parallelogramms, die über der Geraden $y=m'x+c_1'$ liegen.
Wenn $m'+c_1' \ge m+c$, ist die Schnittmenge ein Dreieck.
Wenn $m\leq m'+c_1' \lt m+c$, haben wir ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Wenn $m'+c_1' \lt m$, ist die Schnittmenge ein Dreieck.
Wenn $c'_2 \lt c$, haben wir:
Wenn $m'+c_1'\geq m+c$, ist die Schnittmenge ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Wenn $m'+c_1'\lt m+c$ und $m'+c_2'\geq m+c$, ist die Schnittmenge ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren von parallelen Seiten.
Wenn $m'+c_2'\lt m+c$, ist die Schnittmenge ein Parallelogramm.
Jetzt nehmen wir an, dass $c_1'\lt 0$.
Wenn $m'+c'_1\lt m$, besteht die Schnittmenge aus Punkten des Parallelogramms, die unter der Geraden $y=m'x+c_2'$ liegen.
Wenn $c_2' \geq c$, ist die Schnittmenge das ganze Parallelogramm.
Wenn $0\leq c_2' \lt c$, haben wir:
Wenn $m'+c_2'\leq m+c$, ist die Schnittmenge ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Wenn $m'+c_2'> m+c$, ist die Schnittmenge ein Fünfeck mit zwei Paaren von parallelen Seiten.
Wenn $c_2' \lt 0$, haben wir:
Wenn $m'+c_2'> m+c$, ist die Schnittmenge ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Wenn $m\lt m'+c_2'= m+c$, ist die Schnittmenge ein Dreieck.
Wenn $m'+c_2'=m$, ist die Schnittmenge der Punkt $(1,m)$.
Wenn $m'+c_2' \lt m$, ist die Schnittmenge leer.
Jetzt nehmen wir an, dass $m'+c'_1\geq m$.
Wenn $c_2'\geq c$, besteht die Schnittmenge aus Punkten des Parallelogramms, die nicht unter der Geraden $y=m'+c_1'$ liegen.
Wenn $m'+c_1'>m+c$, ist die Schnittmenge ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
Wenn $m\lt m'+c_1'\leq m+c$, ist die Schnittmenge ein Dreieck.
Wenn $m'+c_1'=m$, ist die Schnittmenge der Punkt $(1,m)$.
Wenn $0\leq c_2' \lt c$, haben wir:
Wenn $m'+c_1'\leq m+c$, ist die Schnittmenge ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren von parallelen Seiten.
Wenn $m \lt m'+c_1'\lt m+c$, ist die Schnittmenge ein konvexes Sechseck mit drei Paaren von parallelen Seiten.
Wenn $m'+c_1'=m$, ist die Schnittmenge ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren von parallelen Seiten.
Wenn $c_2'\lt 0$, haben wir:
Wenn $m'+c_1'\geq m+c$, ist die Schnittmenge ein Parallelogramm.
Wenn $m\lt m'+c_1' \lt m+c$, ist die Schnittmenge ein konvexes Fünfeck mit zwei Paaren von parallelen Seiten.
Wenn $m'+c_1'=m$, ist die Schnittmenge ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.
