Betrachte eine Fläche $F$ des Würfels und schneide den Würfel mit einer Ebene $P$, die senkrecht zu $F$ ist.
Zum Beispiel, wenn $F$ eine horizontale Fläche ist, dann ist $P$ eine vertikale Ebene. Wir untersuchen die Querschnitte des Würfels, die von $P$ geschnitten werden.
Betrachte $xyz$ Koordinaten im Raum.
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit den Einheitswürfel nehmen, dessen Ecke im Urspurng liegt und dessen gegenüberliegende Ecke der Punkt $(1,1,1)$ ist. Außerdem können wir annehmen, dass $F$ die horizontale Fläche ist, die aus Punkten besteht, deren letzte Koordinate $0$ ist. In der $xy$-Ebene entsprechen die Punkte von $F$ den Punkten des Einheitsquadrats $S$, während die vertikale Ebene $P$ die $xy$-Ebene in eine Gerade $L$ schneidet.
Wenn die Schnittmenge $S\cap L$ bekannt ist, was ist die Schnittmenge von $P$ und dem Würfel?
Die Schnittmenge von $P$ und dem Würfel ist das kartesische Produkt $(S\cap L)\times [0,1]$. Wir beweisen die Gleichheit von diesen zwei Mengen, indem wir beweisen dass jede in der anderen drin ist.
Wir beweisen zuerst, dass die Punkte in $(S\cap L)\times [0,1]$ sich sowohl im Würfel wie auch in der Ebene $P$ befinden: sie sind in dem Würfel, weil dank $S$ die drei Koordinaten zwischen $0$ und $1$ liegen; sie sind in $P$, weil (durch die Definition von $L$) das der Fall ist für die Punkte in $L\times \{0\}$, und eine vertikale Ebene enthählt die vertikalen Geraden durch ihre Punkte.
Um die andere Inklusion zu beweisen, beweisen wir, dass ein Punkt $X=(a,b,c)$ in der Schnittmenge von $P$ und dem Würfel ist, sodass $(a,b)$ ein Punkt in $S\cap L$ ist. Da $X$ ein Punkt im Würfel ist, sind $a$ und $b$ beide zwischen $0$ und $1$, und so ist $(a,b)$ in $S$. Da $X$ in der vertikalen Ebene $P$ liegt, ist auch der Punkt $(a,b,0)$ in $P$ und so ist $(a,b)$ in $L$.
Was sind die geometrischen Figuren, die die Schnittmenge zwischen dem Quadrat $S$ und der Geraden $L$ sein können?
Die Schnittmenge $S\cap L$ kann leer sein (zum Beispiel, wenn $L$ die Gerade gegeben durch $x=2$ ist), und jetzt können wir diesen Fall ausschließen.
Da $S$ beschränkt ist, wird die Schnittmenge $S\cap L$ eine beschränkte Menge der Ebene sein. Da $S$ und $L$ konvexe Mengen sind, gilt dasselbe für $S\cap L$. Also kann die Menge $S\cap L$, die eine beschränkte, nicht leere und konvexe Teilmenge der Geraden $L$ ist, nur ein Punkt oder eine Strecke sein.
Die Schnittmenge $S\cap L$ kann aus einem Punkt bestehen (eine der Ecken von $S$), und die kann aus einer Strecke bestehen (zum Beispiel, eine Seite von $S$).
Beweise, dass, wenn $S\cap L$ eine Strecke ist, dann liegen ihre Endpunkte auf den Seiten von $S$. Außerdem, wenn die zwei Endpunkte der gleichen Seite von $S$ angehören, dann ist $S\cap L$ genau diese Seite.
Wenn die Endpunkte der gleichen Seite von $S$ angehören, dann liegt diese Seite komplett auf der Geraden $L$, und wir konkludieren (in diesem Fall sind die Endpunkte Eckpunkte des Quadrats).
Jetzt nehmen wir an, dass $S\cap L$ einen inneren Punkt $X=(x_0,y_0)$ des Quadrats enthält. Wir konkludieren, indem wir beweisen, dass $X$ kein Endpunkt von $S\cap L$ ist. Es gibt zwei reelle Zahlen $r,r'$, sodass die Punkte $X_t=(x_0+rt,y_0+r't)$ zu $L$ gehören für alle reellen Zahlen $t$. Wenn $t$ genügend nah an $0$ ist, dann liegen die Koordinaten von $X_t$, wie die von $X$, strikt zwischen $0$ und $1$, und so ist $X_t$ in $S\cap L$, was beweist, dass $X$ kein Endpunkt dieser Strecke sein kann.
Beweise, dass, wenn $S\cap L$ ein Punkt ist, dann ist es ein Eckpunkt des Quadrats $S$.
Der Schnittpunkt kann kein innerer Punkt vom Quadrat sein, weil, wie vorher gezeigt, es Nachbarpunkte geben würde, die sowohl zum Würfel als auch zur Geraden gehören.
Jetzt nehmen wir an, dass der Schnittpunkt auf einer Seite des Quadrats liegt, aber kein Eckpunkt ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei dieser Punkt von der Form $(x_0,0)$ für eine reelle Zahl $x_0$ die zwischen $0$ und $1$ liegt. Wenn $L$ horizontal ist, dann würde $S\cap L$ auch $(0,0)$ enthalten, während wenn es vertikal ist, es auch $(x_0,1)$ enthalten würde, was dem widerspricht, dass $S\cap L$ ein einzelner Punkt ist. Jetzt nehmen wir an, dass $L$ weder vertikal noch horizontal ist, dann gibt es eine von null verschiedene reelle Zahl $m$, sodass die Punkte $(x_0+t,mt)$ auf $L$ liegen für alle reellen Zahlen $t$. Wenn wir $t$ genügend nah an $0$ wählen, sodass $mt$ strikt positiv ist, dann ist der Punkt $(x_0+t,mt)$ ein zweiter Punkt in $S\cap L$, Kontradiktion.
Was sind die möglichen Schnittmengen zwischen dem Würfel und der Ebene $P$?
Nehmen wir an, dass die Schnittmenge nicht leer ist. Dann ist $S\cap L$ nicht leer, und so ist es entweder ein Eckpunkt des Quadrats oder eine Strecke, deren Endpunkte den Seiten von $S$ angehören. Im ersten Fall ist der Schnittpunkt zwischen $P$ und dem Würfel eine der vertikalen Kanten des Würfels. Im zweiten Fall ist die Schnittmenge ein Rechteck.
Die vertikale Seite des Rechtecks hat Länge $1$, während die horizontale Seite des Rechtecks eine Länge hat, die strikt positiv und höchstens $\sqrt{2}$ ist. (Die Distanz zwischen zwei verschiedenen Punkten auf den Seiten von $S$ kann jede positive Zahl sein, die höchstens der Länge der Quadratdiagonale entspricht.) Der Flächeninhalt des Rechtecks kann jede positive reelle Zahl sein, die höchstens $\sqrt{2}$ ist.
Bemerkung: Wenn wir einen Würfel mit Seitenlänge $\ell$ hätten, sollten wir die Seitenlänge mit $\ell$ und den Flächeninhalt mit $\ell^2$ skalieren.
Wann bekommen wir ein Quadrat als die Schnittmenge zwischen dem Würfel und der Ebene $P$?
Die geforderte Bedingung bedeutet, dass die Schnittmenge $S\cap L$ eine Strecke von Länge eins ist. Dies ist möglich, wenn $L$ parallel zu einer Seite von $S$ ist (und $S\cap L$ nicht leer ist), was bedeutet, dass $P$ parallel zu einer Würfelfläche ist und den Würfel schneidet.
Alternativ müssen die zwei Endpunkte der Strecke $S\cap L$ auf benachbarten Seiten von $S$ liegen und einen Abstand von $1$ haben. Wenn wir einen Punkt $A$ auf einer Seite von $S$ fixieren, und eine benachbarte Seite, dann gibt es genau einen Punkt $B$ auf dieser Seite, der von $A$ den Abstand $1$ hat.
