Considérons une face $F$ du cube et coupons le cube avec un plan $P$ qui est perpendiculaire à $F$.
Par exemple, si $F$ est une face horizontale, alors $P$ est un plan vertical. Nous explorons les sections du cube qui sont coupées par $P$.
Considérons des coordonnées $xyz$ dans l’espace. Nous pouvons prendre sans perte de généralité le cube unité avec un sommet à l’origine et le sommet opposé qui est $(1,1,1)$. En plus, nous pouvons supposer que $F$ est la face horizontale qui consiste en les points, dont la dernière coordonnée est $0$. Dans le plan $xy$, les points de $F$ deviennent les points du carré unité $S$, tandis que le plan vertical $P$ coupe le plan $xy$ en une droite $L$.
Si l’intersection $S\cap L$ est connue, quelle est l’intersection de $P$ et du cube ?
L’intersection de $P$ et du cube est le produit cartésien $(S\cap L)\times [0,1]$. Nous démontrons l’égalité de ces deux ensembles en montrant que chacun est contenu dans l’autre.
D’abord, nous montrons que les points dans $(S\cap L)\times [0,1]$ sont contenus dans le cube et le plan $P$ : ils sont contenus dans le cube parce que, grâce à $S$, les trois coordonnées sont entre $0$ et $1$ ; ils sont contenus dans $P$ parce que (par la définition de $L$) ceci est le cas pour les points dans $L\times \{0\}$, et un plan vertical contient les droites verticales à travers ses points.
Pour montrer l’autre inclusion, nous prouvons qu’un point $X=(a,b,c)$ dans l’intersection de $P$ et du cube est tel que $(a,b)$ est un point dans $S\cap L$. Comme $X$ est un point du cube, $a$ et $b$ sont les deux entre $0$ et $1$ et alors $(a,b)$ est dans $S$. Comme $X$ est dans le plan vertical $P$, aussi le point $(a,b,0)$ est dans $P$, ce qui implique que $(a,b)$ est dans $L$.
Quelles sont les figures géométriques qui peuvent être l’intersection entre le carré $S$ et la droite $L$ ?
L’intersection $S\cap L$ peut être vide (par exemple, si $L$ est la droite donnée par $x=2$), et maintenant nous excluons ce cas.
Comme $S$ est borné, l’intersection $S\cap L$ sera un ensemble borné du plan. Comme $S$ et $L$ sont des ensembles convexes, il en est de même pour $S\cap L$. Alors, l’ensemble $S\cap L$, qui est un sous-ensemble borné, non vide et convexe de la droite $L$, peut seulement être un point ou un segment.
L’intersection $S\cap L$ peut consister en un point (l’un des sommets de $S$) et elle peut consister en un segment (par exemple, un côté de $S$).
Prouve que, si $S\cap L$ est un segment, alors ses points extrêmes sont sur le côté de $S$. En plus, si deux points extrêmes appartiennent au même côté de $S$, alors $S\cap L$ est précisément ce côté.
Si les points extrêmes appartiennent au même côté de $S$, alors ce côté est entièrement contenu dans la droite $L$ et nous concluons (dans ce cas, les points extrêmes sont des sommets d’un carré).
Supposons maintenant que $S\cap L$ contient un point intérieur $X=(x_0,y_0)$ du carré. Nous concluons en prouvant que $X$ n’est pas un point extrême de $S\cap L$. Il y a deux nombres réels $r,r'$ tels que les points $X_t=(x_0+rt,y_0+r't)$ appartiennent à $L$ pour tout nombre réel $t$. Si $t$ est suffisamment près de $0$, alors les coordonnées de $X_t$, comme celles de $X$, seront strictement entre $0$ et $1$ et alors $X_t$ est dans $S\cap L$, ce qui montre que $X$ ne peut pas être un point extrême de ce segment.
Prouve que, si $S\cap L$ est un point, alors il s’agit d’un sommet du carré $S$.
Le point d’intersection ne peut pas être un point intérieur du carré, car, comme montré auparavant, il y aurait des points voisins qui appartiennent au cube et à la droite.
Supposons maintenant que le point d’intersection est dans un côté du carré, mais qu’il n’est pas un sommet. Sans perte de généralité, supposons que ce point est de la forme $(x_0,0)$ pour un nombre réel $x_0$ qui est entre $0$ et $1$. Si $L$ est horizontale, alors $S\cap L$ contiendrait aussi $(0,0)$, tandis que si elle est verticale, il contiendrait aussi $(x_0,1)$, ce qui contredit le fait que $S\cap L$ consiste en un seul point. Supposons maintenant que $L$ n’est ni verticale ni horizontale, alors il y a un nombre réel non nul $m$ tel que les points $(x_0+t,mt)$ sont contenus dans $L$ pour tout nombre réel $t$. En prenant $t$ suffisamment près de $0$ et tel que $mt$ est strictement positif, le point $(x_0+t,mt)$ est un second point dans $S\cap L$, contradiction.
Quelles sont les possibilités d’intersections entre le cube et le plan $P$ ?
Supposons que l’intersection est non vide. Alors $S\cap L$ est non vide et ainsi, elle est soit un sommet d’un carré, soit un segment dont les points extrêmes appartiennent aux côtés de $S$. Dans le premier cas, l’intersection entre $P$ et le cube est l’une des arêtes verticales du cube. Dans le second cas, l’intersection est un rectangle.
Le côté vertical du rectangle a une longueur de $1$, tandis que le côté horizontal du rectangle a une longueur qui est strictement positive et au plus $\sqrt{2}$. (En effet, la distance entre deux points distincts sur les côtés de $S$ peut être n’importe quel nombre positif qui est au plus la longueur de la diagonale du carré.)
L’aire du rectangle peut alors être n’importe quel nombre réel positif qui est au plus $\sqrt{2}$.
Remarque : Si nous avions un cube de côté $\ell$, nous devrions redimensionner la longueur du côté par $\ell$ et l’aire par $\ell^2$.
Quand obtenons-nous un carré comme intersection entre le cube et le plan $P$ ?
La condition demandée signifie que l’intersection $S\cap L$ est un segment de longueur un. Ceci est possible si $L$ est parallèle à un côté de $S$ (et $S\cap L$ est non vide), ce qui signifie que $P$ est parallèle à une face du cube et intersecte le cube.
Alternativement, les deux points extrêmes du segment $S\cap L$ doivent être sur des côtés voisins de $S$ et à distance $1$. Si nous fixons un point $A$ sur un côté de $S$, et un côté voisin, alors il y a précisément un point $B$ sur ce côté qui est à distance $1$ de $A$.
