In einem Kreisverkehr kann man immer wieder im Kreis fahren:
Wenn man in einer spiralförmigen Parkhausrampe nach oben oder unten fährt, bewegt man sich entlang einer Helix:
Kurz gesagt: Eine Helix ist eine Kurve, die eine Kreisbewegung mit einer gleichzeitigen Aufwärts- oder Abwärtsbewegung kombiniert.
[Zu den Bildern: Kreisverkehr
(CC 3.0; Linien hinzugefügt); Parkhaus (CC SA 2.0; Linien hinzugefügt).]
Definition zylindrischer Helices
Eine zylindrische Helix ist eine Kurve auf einem Zylinder, die die Bahn eines Punktes beschreibt, der sich mit konstanter Geschwindigkeit um den Zylinder dreht und sich dabei gleichzeitig mit konstanter Geschwindigkeit nach oben oder unten bewegt.
Betrachten wir einen unendlichen Zylinder. Dann kann sich die Helix unendlich in eine oder beide Richtungen erstrecken und ist dann eine Kurve unendlicher Länge
Wir wählen ein \(xyz\)-Koordinatensystem, sodass die Achse des Zylinders die \(z\)-Achse übereinstimmt, und sei \(r\) der Radius des Zylinders. Wir betrachten einen Punkt \(P\), der sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Helix bewegt.
Wir betrachten die Projektion auf die \(xy\)-Ebene. Angenommen, die Projektion \(P'\) von \(P\) rotiert gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung (mit konstanter Geschwindigkeit). Wenn \(P'\) bei \(t=0\) die Koordinaten \((r,0)\) hat und bei \(t = 2\pi\) eine volle Umdrehung abgeschlossen hat, dann sind seine Koordinaten zur Zeit \(t\):
\[
(x,y) = (r\cos(t), r\sin(t))
\]
mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus. Der Winkel, der die Position von \(P'\) auf dem Kreis beschreibt, wächst und ist zu jedem Zeitpunkt gleich \(t\).
Gleichzeitig bewegt sich der Punkt \(P\) mit konstanter Geschwindigkeit in vertikaler Richtung. Wir nehmen an, dass seine \(z\)-Koordinate bei \(t=0\) den Wert \(0\) hat. Dann gilt für die Höhe zur Zeit \(t\):
\[
z = c\,t
\]
wobei \(c\) eine Konstante ist: positiv, wenn der Punkt aufsteigt, negativ, wenn er absteigt.
Somit hat der Punkt \(P\) zur Zeit \(t\) die Koordinaten:
\[
(x,y, z) = (r\cos(t), r\sin(t), c\,t)
\]
Eine geometrische Beschreibung von Helices
Eine zylindrische Helix ist eine Kurve, die auf einem Zylinder liegt und an jedem Punkt einen konstanten spitzen Winkel mit der Achse des Zylinders bildet. Diese Eigenschaft beschreibt die momentane Richtung der Kurve in einem gegebenen Punkt.
Würde man auch den Winkel \(0^\circ\) zulassen, so würde sich der Punkt lediglich parallel zur Zylinderachse bewegen, ohne den Zylinder zu umrunden. Würde man den Winkel \(90^\circ\) zulassen, so würde der Punkt weder auf- noch absteigen, sondern sich nur um die Zylinderachse drehen.
Die Tangente an einer Kurve in einem bestimmten Punkt ist die Gerade, deren Richtung mit der Richtung der Kurve an diesem Punkt übereinstimmt.
Betrachten wir die Kurve als Bahn eines Punktes \(P\), so ist der Tangentialvektor (zum Zeitpunkt \(t\)) ein Vektor, dessen Richtung die momentane Bewegungsrichtung des Punktes angibt. Seine Länge hängt von der Geschwindigkeit des Punktes ab.
Wir berechnen den Tangentenvektor, indem wir die Ableitung der Funktionen nehmen, die die Koordinaten zur Zeit \(t\) ausdrücken. Für die Helix
\[
(x,y, z) = (r\cos(t), r\sin(t), c\,t)
\]
ergibt sich:
\[
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-r\sin(t) \\
r\cos(t) \\
c
\end{pmatrix}
\]
Der Winkel der Helix mit der \(z\)-Achse ist der Arkustangens des Quotienten:
\[
\frac{\text{Norm der horizontalen Komponente des Tangentialvektors}}{\text{Norm der vertikalen Komponente des Tangentialvektors}}
\]
Für eine Helix soll dieser Quotient konstant sein.
Die horizontale Komponente des Tangentialvektors ist \((-r\sin(t), r\cos(t))\) mit der Norm \(r\), während die vertikale Komponente die Norm \(|c|\) hat (also \(c\) oder \(-c\), falls \(c\) negativ ist). Daher ist der Quotient stets \(r/|c|\) und damit konstant.
