In einem Kreisverkehr kann man immer wieder im Kreis fahren:
Wenn man in einer spiralförmigen Parkhausrampe nach oben oder unten fährt, bewegt man sich entlang einer Helix:
Kurz gesagt: Eine Helix ist eine Kurve, die eine Kreisbewegung mit einer gleichzeitigen Aufwärts- oder Abwärtsbewegung kombiniert.
[Zu den Bildern: Kreisverkehr
(CC 3.0; Linien hinzugefügt); Parkhausrampe (CC SA 2.0; Linien hinzugefügt).]
Definition zylindrischer Helices
Eine zylindrische Helix ist eine Kurve auf einem Zylinder, die die Bahn eines Punktes beschreibt, der sich mit konstanter Geschwindigkeit um den Zylinder dreht und sich dabei gleichzeitig mit konstanter Geschwindigkeit nach oben oder unten bewegt.
Betrachten wir einen unendlichen Zylinder. Dann kann sich die Helix unendlich in eine oder beide Richtungen erstrecken und ist dann eine Kurve unendlicher Länge.
Wir wählen ein \(xyz\)-Koordinatensystem, sodass die Zylinderachse mit der \(z\)-Achse übereinstimmt, und sei \(r\) der Radius des Zylinders. Wir betrachten einen Punkt \(P\), der sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Helix bewegt.
Wir betrachten die Projektion auf die \(xy\)-Ebene. Angenommen, die Projektion \(P'\) von \(P\) rotiert gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung (mit konstanter Geschwindigkeit). Wenn \(P'\) bei \(t=0\) die Koordinaten \((r,0)\) hat und bei \(t = 2\pi\) eine volle Umdrehung abgeschlossen hat, dann sind seine Koordinaten zur Zeit \(t\):
\[
(x,y) = (r\cos(t), r\sin(t))
\]
mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus. Der Winkel, der die Position von \(P'\) auf dem Kreis beschreibt, ist zu jedem Zeitpunkt gleich \(t\).
Gleichzeitig bewegt sich der Punkt \(P\) mit konstanter Geschwindigkeit in vertikaler Richtung. Wir nehmen an, dass sich der Punkt bei \(t=0\) auf der Höhe \(z=0\) befindet. Dann gilt für die Höhe zur Zeit \(t\):
\[
z = c\,t
\]
wobei \(c\) eine Konstante ist: positiv, wenn der Punkt aufsteigt, negativ, wenn er absteigt.
Somit hat der Punkt \(P\) zur Zeit \(t\) die Koordinaten:
\[
(x,y, z) = (r\cos(t), r\sin(t), c\,t)
\]
Eine geometrische Beschreibung von Helices
Eine zylindrische Helix kann auch geometrisch beschrieben werden:
Eine zylindrische Helix ist eine Kurve, die auf einem Zylinder liegt und an jedem Punkt einen konstanten spitzen Winkel mit der Zylinderachse bildet. Diese Eigenschaft beschreibt die momentane Richtung der Kurve in einem gegebenen Punkt.
Würde man auch den Winkel \(0^\circ\) zulassen, so würde sich der Punkt lediglich parallel zur Zylinderachse bewegen, ohne den Zylinder zu umrunden. Würde man den Winkel \(90^\circ\) zulassen, so würde der Punkt weder auf- noch absteigen, sondern sich nur um die Zylinderachse drehen.
Die Richtung einer Kurve in einem Punkt wird durch den Tangentenvektor in diesem Punkt angegeben.
Betrachten wir die Kurve als Bahn eines Punktes \(P\), so ist der Tangentenvektor (zum Zeitpunkt \(t\)) ein Vektor, dessen Richtung die momentane Bewegungsrichtung des Punktes angibt. Seine Länge hängt von der Geschwindigkeit des Punktes ab.
Wir berechnen den Tangentenvektor, indem wir die Koordinatenfunktionen nach \(t\) ableiten. Für die Helix
\[
(x,y, z) = (r\cos(t), r\sin(t), c\,t)
\]
ergibt sich:
\[
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-r\sin(t) \\
r\cos(t) \\
c
\end{pmatrix}
\]
Für den Winkel \( \phi \) zwischen der Helix und der \(z\)-Achse gilt:
\[
\tan(\phi) = \frac{\text{Norm der horizontalen Komponente des Tangentenvektors}}{\text{Norm der vertikalen Komponente des Tangentenvektors}}
\]
Eine Helix zeichnet sich dadurch aus, dass dieser Quotient konstant ist.
Die horizontale Komponente des Tangentenvektors ist \((-r\sin(t), r\cos(t))\) und hat die Norm \(r\), während die vertikale Komponente die Norm \(|c|\). Daher gilt
\[
\tan(\phi) = \frac{r}{|c|},
\]
was konstant ist. Die Helix bildet daher mit der Zylinderachse einen konstanten Winkel.
