Die Länge einer Helix

Wenn sich eine Helix unendlich in eine oder beide Richtungen erstreckt, so ist ihre Länge unendlich. Daher konzentrieren wir uns auf endliche zylindrische Helices.

Wie misst man die Länge einer Helix?

Um ein gekrümmtes Objekt zu messen, können wir kein normales Lineal verwenden, sondern benötigen ein flexibles Messinstrument, etwa ein Schneidermaßband. Für längere Kurven, genügt ein einfaches Seil:
- Lege ein Seil entlang der Kurve und markiere Anfangs- und Endpunkt auf dem Seil.
- Strecke das Seil und messe den Abstand zwischen den Markierungen.
- Dieser Abstand ist die Länge der Kurve.
So könnte man beispielsweise die Länge einer spiralförmigen Rutsche bestimmen:

Bildreferenz: reference, CC BY-SA 2.0 (with added curve).

Wie lang ist eine Helix?

Orientiere den Zylinder so, dass seine Achse vertikal ist. Die Helix ist länger als ihre horizontale Auslenkung. Für eine vollständige Umdrehung um den Zylinder beträgt die horizontale Verschiebung der Umfang der Basis. Daher gilt: \[ 2\pi r < \text{Länge (eine Umdrehung)}\] wobei \(r\) der Zylinderradius ist.
Gleichzeitig ist die Helix kürzer als die Summe aus horizontaler und vertikaler Auslenkung (da sie sich diagonal bewegt). Somit gilt für eine Umdrehung: \[ \text{Länge (eine Umdrehung)} < 2\pi r + p \] wobei \(p\) die Ganghöhe der Helix ist.
Die genaue Länge einer Umdrehung der Helix beträgt: \[\sqrt{(2\pi r)^2+p^2}\]
Diese Länge nennt man die Länge pro Umdrehung. Mit Proportionalität können wir daraus die Länge für eine beliebige Anzahl von Umdrehungen berechnen.
Sei \(N\) die Anzahl der Umdrehungen, die ein Punkt entlang der Helix genötigt um die gesamte Helix zu durchlaufen (im Allgemeinen ist \(N\) eine reelle Zahl). Die Gesamtlänge der Helix beträgt: \[N \cdot \sqrt{(2\pi r)^2+p^2}\]

Herleitung der Längenformel

Das Abwickeln des Zylindermantels zu einem Rechteck ist eine längenerhaltende Abbildung. Daher entspricht die Länge der Helix der Summe der Längen der entsprechenden Liniensegmente im abgewickelten Rechteck:
Für eine Umdrehung (Schneiden des Zylinders am Start- und Endpunkt) erhalten wir ein einzelnes Diagonalsegment:

Die Länge der vertikalen Seite ist die Ganghöhe (\(p\)), während die Länge der horizontalen Seite der Umfang der Zylinderbasis (\(2\pi r\)) ist. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt die Länge der Diagonale: \[\sqrt{(2\pi r)^2+p^2}\]

Kürzeste Kurven auf dem Zylinder

Ein Strecke ist die kürzeste Kurve in einer Ebene, die zwei Punkte verbindet. Aber was ist die kürzeste Kurve auf einem Zylinder?
Orientieren den Zylinder vertikal.
- Wenn zwei Punkte vertikal ausgerichtet sind, ist die kürzeste Kurve die vertikale Strecke, die sie verbindet.
- Wenn zwei Punkte auf derselben Höhe liegen, ist die kürzeste Kurve der kürzere (horizontale) Kreisbogen, der sie verbindet (es sei denn, sie liegen diametral gegenüber).
Wenn die Punkte weder vertikal noch horizontal ausgerichtet sind, ist die kürzeste Kurve eine Helix, die höchstens eine halbe Umdrehung macht. Diese Helix ist eindeutig, es sei denn, die horizontale Projektionen der Punkte liegen diametral gegenüber (in diesem Fall kann man entweder eine rechtsgängige oder eine linksgängige Helix wählen).

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