Dans un rond-point, vous pouvez tourner indéfiniment en cerclee :
Si vous montez ou descendez dans une rampe de parking cylindrique, vous suivez une hélice :
En somme, une hélice est une courbe qui combine un mouvement circulaire avec un mouvement vertical (ascendant ou descendant).
[À propos des images : rond-point
(CC 3.0 ; lignes ajoutées) ; parking (CC SA 2.0 ; lignes ajoutées).]
Définition des hélices cylindriques
Une hélice cylindrique est une courbe tracée sur un cylindre, correspondant à la trajectoire d'un point qui se déplace à vitesse constante autour du cylindre tout en montant (ou descendant) également à vitesse constante.
Si l'on considère un cylindre infini, l'hélice peut s'étendre indéfiniment dans une ou deux directions, ce qui en fait une courbe de longueur infinie.
Prenons un système de coordonnées \(xyz\) tel que l'axe du cylindre soit aligné avec l'axe \(z\), et soit \(r\) le rayon du cylindre. Considérons un point \(P\) se déplaçant sur l'hélice à vitesse constante.
Examinons la projection sur le plan \(xy\). Supposons que la projection \(P'\) du point \(P\) tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'origine (à vitesse constante). Si \(P'\) commence aux coordonnées \((r,0)\) à l'instant \(t=0\) et effectue une rotation complète à \(t = 2\pi\), alors ses coordonnées à l'instant \(t\) sont :
\[
(x,y) = (r\cos(t), r\sin(t))
\]
où l'on reconnaît les fonctions trigonométriques sinus et cosinus. L'angle décrivant la position de \(P'\) sur le cercle augmente constamment et est égal au temps \(t\).
Le point \(P\) se déplace également verticalement à vitesse constante. Supposons que la coordonnée \(z\) parte de 0, alors à l'instant \(t\), la coordonnée \(z\) vaut :
\[
z = c\,t
\]
où \(c\) est une constante : positive si le point monte, négative s'il descend.
Les coordonnées du point \(P\) à l'instant \(t\) sont donc :
\[
(x,y, z) = (r\cos(t), r\sin(t), c\,t)
\]
Une description géométrique des hélices
Une hélice cylindrique est une courbe située sur un cylindre qui forme un angle aigu constant avec l'axe du cylindre en chaque point. Cette propriété concerne la direction instantanée de la courbe en un point donné.
Si l'on autorisait un angle nul, le point se déplacerait parallèlement à l'axe du cylindre sans tourner. Avec un angle de \(90^\circ\), le point ne ferait que tourner autour de l'axe sans monter ni descendre.
La tangente à une courbe en un point est une droite dont la direction correspond à celle de la courbe en ce point.
Si l'on considère la courbe comme la trajectoire d'un point \(P\), le vecteur tangent (à l'instant \(t\)) est un vecteur dont la direction est celle de la courbe et dont la longueur dépend de la vitesse du point.
Pour calculer le vecteur tangent, on prend la dérivée des fonctions qui expriment les coordonnées en fonction du temps \(t\). Pour l'hélice définie par :
\[
(x,y, z) = (r\cos(t), r\sin(t), c\,t)
\]
on obtient :
\[
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-r\sin(t) \\
r\cos(t) \\
c
\end{pmatrix}
\]
L'angle que fait l'hélice avec l'axe \(z\) est l'arc tangente du rapport:
\[
\dfrac{\text{norme de la composante horizontale du vecteur tangent}}{\text{norme de la composante verticale du vecteur tangent}}
\]
et nous voulons que ce rapport soit constant.
La composante horizontale du vecteur tangent est \((-r\sin(t), r\cos(t))\), dont la norme vaut \(r\), tandis que la composante verticale a pour norme \(|c|\) (c'est-à-dire \(c\), ou \(-c\) si \(c\) est négatif). Ainsi, le rapport est toujours \(r/|c|\), ce qui garantit qu'il est constant.
