Die Form einer zylindrischen Helix wird durch drei Parameter bestimmt:
Der Radius des Zylinders.
Die Ganghöhe der Helix.
Die Windungsrichtung der Helix.
Fixierung des Zylinders
Wir betrachten nun einen festen Zylinder und untersuchen, wie sich Änderungen der Ganghöhe oder der Windungsrichtung auf die Helix auswirken.
Umkehrung der Windungsrichtung: Wenn wir die Ganghöhe festlegen und eine Ebenensymmetrie anwenden (Spiegelung an einer Ebene parallel zur Basis des Zylinders), wird eine rechtsgängige Helix zu einer linksgängigen Helix und umgekehrt.
Änderung der Ganghöhe: Jetzt legen wir die Windungsrichtung fest und ändern die Ganghöhe.
Erhöht man die Ganghöhe, wird die Helix gestreckt und weniger eng um den Zylinder gewunden.
Für eine feste Höhe nimmt die Anzahl der Umdrehungen um die Zylinderachse ab. Genauer gesagt ist sie umgekehrt proportional zur Ganghöhe.
Auch die Steigung nimmt proportional zur Ganghöhe zu, daher nimmt ebenfalls der Gangwinkel zu.
Die Krümmung
Die Krümmung einer Kurve an einem gegebenen Punkt ist ein Maß dafür, wie stark die Kurve an diesem Punkt gebogen ist.
Bei einem Kreis ist die Krümmung konstant und wird als der Kehrwert seines Radius definiert. Kreise mit einem kleineren Radius sind stärker gekrümmt als solche mit einem größeren Radius. Ein kleinerer Radius bedeutet also eine höhere Krümmung.
Wenn \(r\) der Radius der Zylinderoberfläche ist, beträgt die Krümmung seiner Basis \(1/r\).
Für eine glatte Kurve ist die Krümmung an einem Punkt als die Krümmung des Kreisbogens, der die Kurve in diesem Punkt am besten approximiert.
Bei einer Helix ist die Krümmung an jedem Punkt gleich.
Die Krümmung \( \kappa \) einer Helix mit Radius \( r\) und Ganghöhe \( p \) ist gegeben durch
\[
\kappa = \dfrac{r}{r^2 + (p/2\pi)^2} \]
Eine Erhöhung der Ganghöhe verringert die Krümmung, da sich die Helix dehnt und ihre Biegung sanfter wird (sie nähert sich einer geraden Linie an).
Eine Verringerung der Ganghöhe erhöht die Krümmung, da sich die Helix strafft und ihr Pfad mehr einem Kreisbogen um den Zylinder ähnelt. Wenn die Ganghöhe gegen null geht, nähert sich die Krümmung der der Zylinderbasis an.
Skalierung des Zylinders
Wenn wir sowohl den Zylinder als auch die Helix um einen Faktor \(F\) skalieren:
Die Ganghöhe der Helix skaliert mit dem Faktor \(F\): Wenn \(F\) größer als \(1\) ist, vergrößert sich die Ganghöhe und die Helix wird entsprechend gestreckt.
Die Krümmung skaliert mit dem Faktor \(1/F\) (da der Radius des approximierenden Kreisbogens mit \(F\) skaliert).
Die Steigung bleibt unverändert (da sie das Verhältnis zweier Größen ist, die beide mit \(F\) skaliert werden).
Maximale Krümmung bei gegebener Ganghöhe
Die Krümmung einer Helix ist gegeben durch:
\[
\dfrac{r}{r^2 + (p/2\pi)^2}
\]
Für eine feste Ganghöhe ist die Krümmung maximal, wenn der Radius die Bedingung \(r = \dfrac{p}{2\pi}\) erfüllt. Äquivalent dazu gilt: \(p = 2 \pi r\). Das bedeutet: Die Helix ist genau dann am stärksten gekrümmt, wenn die Ganghöhe dem Umfang der Zylinderbasis entspricht.
Für eine feste Ganghöhe gilt:
Ist der Zylinderradius sehr groß, so ist die Helix nur schwach gekrümmt.
Ist der Zylinderradius im Vergleich zur Ganghöhe sehr klein, so ist die Helix stark gestreckt und ebenfalls nur schwach gekrümmt.
