Lët'z box counting!
Das Prinzip der Kästchenzählung ist eine Methode, die in der fraktalen Geometrie verwendet wird, um die Komplexität einer Form, z. B. der Grenze eines Landes, zu messen. Um diese Methode anzuwenden, stellen Sie sich vor, Sie bedecken die Karte von Luxemburg oder des Vereinigten Königreichs mit einem Gitter aus gleich großen Kästchen. Dann zählen Sie, in wie vielen Kästchen ein Teil der Grenze enthalten ist.
Als Nächstes wiederholen Sie den Vorgang mit kleineren Kästchen und zählen, wie viele dieser kleineren Kästchen den Rand berühren. Während Sie die Größe der Kästchen immer weiter reduzieren und zählen, zeichnen Sie diese Zählungen in ein Diagramm ein, wobei die Größe der Kästchen auf einer Achse und die Anzahl der Kästchen auf der anderen Achse liegt.
Bei einer regelmäßigen Form ist die Beziehung zwischen der Größe der Kästchen und der Anzahl der Kästchen einfach, aber bei komplexen, unregelmäßigen Grenzen zeigt diese Beziehung ein Muster. Die Art und Weise, wie die Anzahl der Kästchen mit abnehmender Größe zunimmt, kann helfen, die fraktale Dimension der Grenze zu bestimmen, ein Maß für ihre Komplexität.
Wie groß ist die Box-Counting-Dimension für die Grenzen von Luxemburg (und dem Vereinigten Königreich)?
Luxemburg, das relativ klein ist und eine weniger verschlungene Grenze hat, könnte ein einfacheres Muster aufweisen als das Vereinigte Königreich, das eine sehr verschlungene Küstenlinie hat.
Mit dieser Methode lässt sich quantifizieren, wie „fraktalartig“ eine Grenze ist, indem ihre Komplexität mathematisch erfasst wird.
Die sich daraus ergebende fraktale Dimension ist eine nicht-ganzzahlige Größe, die angibt, wie detailliert die Grenze in verschiedenen Maßstäben ist.
Die für die Grenzen Luxemburgs ermittelte Box-Counting-Dimension beträgt 1.05 und für die Küstenlinie Großbritanniens 1.26!
Der erste Wert liegt nahe bei 1 (die fraktale Dimension eines Kreises ist 1), was bedeutet, dass die Grenzen Luxemburgs nicht viele tiefe Kanten haben.
Dieses Prinzip zeigt also, dass natürliche Formen oft fraktal sind und eine Komplexität aufweisen, die über die einfache euklidische Geometrie hinausgeht.
Kredite: Diese Animationen wurden im Rahmen des Experimental Mathematics Lab-Projekts mit dem Titel ''Lët'z box counting'' erstellt, das die Bachelorarbeit unserer Studentin Kim Da Cruz war, und wurde von Dr. Guendalina Palmirotta und Dr. Lara Daw betreut.
Mehr Informationen: Sehen Sie sich die Bachelorarbeit von Kim Da Cruz auf unserer Experimental Mathematics Lab Webseite.
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