Lët'z box counting!
Le principe de comptage des boîtes est une méthode utilisée en géométrie fractale pour mesurer la complexité d'une forme, telle que la frontière d'un pays. Pour appliquer cette méthode, imaginez que vous recouvrez la carte du Luxembourg ou du Royaume-Uni d'une grille de boîtes de taille égale. Vous comptez ensuite combien de cases contiennent une partie de la frontière.
Ensuite, vous répétez le processus avec des boîtes plus petites, en comptant combien de ces boîtes plus petites touchent la bordure. Au fur et à mesure que vous réduisez la taille des boîtes et que vous comptez, vous reportez ces chiffres sur un graphique avec la taille des boîtes sur un axe et le nombre de boîtes sur l'autre axe.
Pour une forme régulière, la relation entre la taille des cases et le nombre de cases est simple, mais pour les bordures complexes et irrégulières, cette relation révèle un modèle. La façon dont le nombre de cases augmente à mesure que leur taille diminue peut aider à déterminer la dimension fractale de la bordure, une mesure de sa complexité.
Quelle est la dimension du comptage des boîtes pour les frontières du Luxembourg (et du Royaume-Uni) ?
Le Luxembourg, qui est relativement petit et dont la frontière est moins alambiquée, pourrait présenter un schéma plus simple que le Royaume-Uni, dont le littoral est très complexe.
Cette méthode permet de quantifier le caractère « fractal » d'une frontière et d'en saisir mathématiquement la complexité. La dimension fractale qui en résulte est un nombre non entier qui reflète le degré de détail de la frontière à différentes échelles.
La dimension de comptage de boîtes obtenue pour les frontières du Luxembourg est de 1.05 et pour le littoral de la Grande-Bretagne de 1.26 !
La première valeur est proche de 1 (la dimension fractale d'un cercle est de 1), ce qui signifie que les frontières du Luxembourg n'ont pas beaucoup de bords profonds.
Ce principe démontre donc que les formes naturelles possèdent souvent une nature fractale, dont la complexité dépasse la simple géométrie euclidienne.
Crédits: Ces animations ont été créées dans le cadre du projet Experimental Mathematics Lab intitulé ''Lët'z box counting'', qui était le mémoire de licence de notre étudiante Kim Da Cruz, et a été supervisé par Dr. Guendalina Palmirotta et Dr. Lara Daw.
Plus d'informations: Consultez la thèse de Bachelor de Kim Da Cruz sur notre Experimental Mathematics Lab site web.
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