Variations des hélices cylindriques

La forme d'une hélice cylindrique est déterminée par trois paramètres :

Cylindre fixe

Fixons le cylindre et explorons comment les changements de sens ou de pas affectent l'hélice.

Forme de l'hélice

Changement du sens d'enroulement : Si nous fixons le pas et appliquons une symétrie plane (réflexion à travers un plan parallèle à la base du cylindre), une hélice droite devient gauche, et vice versa.
Changement du pas : Fixons maintenant le sens et changeons le pas.
- Augmenter le pas étire l'hélice, la rendant moins serrée.
- Pour une hauteur donnée, le nombre de tours autour de l'axe du cylindre diminue.
- La pente varie proportionnellement avec le pas, donc l'angle de l'hélice change également.

La courbure d'une courbe en un point mesure à quel point la courbe est courbée en ce point.
Pour un cercle, la courbure est constante et définie comme l'inverse de son rayon. Les cercles avec un rayon plus petit sont plus courbés que ceux avec un rayon plus grand, donc un rayon plus petit signifie une courbure plus élevée.
Si \(r\) est le rayon de la surface du cylindre, la courbure de sa base est \(1/r\).
Pour une courbe lisse, la courbure en un point est définie comme la courbure de l'arc de cercle (infinitésimal) qui approxime le mieux la courbe en ce point.
Pour une hélice, la courbure est la même en tout point.

Augmenter le pas réduit la courbure, car l'hélice s'étire et sa trajectoire devient moins courbée (presque rectiligne).
Diminuer le pas augmente la courbure, car l'hélice se resserre et son trajet ressemble davantage à un arc circulaire autour du cylindre. Lorsque le pas approche zéro, la courbure approche celle de la base du cylindre.

Si l'on multiplie les dimensions du cylindre et de l'hélice par un facteur \(F\) :

Le pas de l'hélice est multiplié par le facteur \(F\) : si \(F > 1\), le pas augmente.
La pente reste inchangée (car elle est le rapport de deux grandeurs toutes deux multipliées par \(F\)).
La courbure est divisée par \(F\), car le rayon de l'arc de cercle approximant est multiplié par \(F\).

Forme de l'hélice

La courbure d'une hélice est donnée par : \[ \dfrac{r}{r^2 + (p/2\pi)^2} \]
Pour un pas fixé, la courbure est maximale lorsque le rayon vérifie : \(r = \dfrac{p}{2\pi}\).
De manière équivalente, \(p = 2 \pi r\). Autrement dit, l'hélice est la plus courbée lorsque le pas est égal à la circonférence de la base du cylindre.
Pour un pas fixé :
- Si le rayon du cylindre est très grand, la courbure de toute hélice sur celui-ci est faible.
- Si le rayon du cylindre est très petit par rapport au pas, alors l'hélice est assez étirée et a donc une faible courbure.