La longueur d'une hélice
Si une hélice s'étend à l'infini dans une ou deux directions, sa longueur est infinie. Nous nous concentrons donc sur les hélices cylindriques finies.
Comment mesurer la longueur d'une hélice ?
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Pour mesurer un objet courbé, nous ne pouvons pas utiliser une règle droite, mais nous pouvons utiliser une règle de couturière flexible ou une corde :
- Placez la corde le long de la courbe en marquant les points de départ et d'arrivée sur la corde.
- Redressez la corde et mesurez la distance entre les marques.
- Cette distance est la longueur de la courbe.
C'est ainsi qu'on pourrait mesurer, par exemple, la longueur d'un toboggan en hélice :
À propos de l'image : source, CC BY-SA 2.0 (recadrée, avec courbe ajoutée).
Quelle est la longueur d'une hélice ?
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Orientez le cylindre verticalement. Une hélice est plus longue que la distance parcourue horizontalement. Pour un tour complet autour de l'axe du cylindre, la distance parcourue horizontalement est égale à la circonférence de la base :
\[ 2\pi r < \text{Longueur (un tour)} \] où \(r\) est le rayon du cylindre. -
De plus, l'hélice est plus courte que la somme des distances parcourues horizontalement et verticalement (puisqu'elle se déplace en diagonale). Pour un tour, on a :
\[ \text{Longueur (un tour)} < 2\pi r + p \] où \(p\) est le pas de l'hélice. -
La longueur exacte d'un tour de l'hélice est :
\[\sqrt{(2\pi r)^2 + p^2}\] -
Nous pouvons calculer la longueur par tour, en considérant uniquement une rotation complète autour de l'axe du cylindre. En utilisant la proportionnalité, cela nous permet de calculer la longueur pour un nombre quelconque de tours.
- Soit \(N\) le nombre de tours qu'un point sur l'hélice effectue pour parcourir toute l'hélice. En général, \(N\) peut être n’importe quel nombre réel non négatif. Par proportionnalité directe, la longueur de l'hélice est : \[N \cdot \sqrt{(2\pi r)^2 + p^2}\]
La formule de la longueur
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Dérouler le cylindre en un rectangle conserve les longueurs. Ainsi, la longueur de l'hélice est égale à la longueur totale des segments dans le rectangle :
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Pour un tour (en coupant le cylindre aux points de départ et d'arrivée), nous obtenons un unique segment diagonal :
La longueur du côté vertical est le pas (\(p\)), tandis que la longueur du côté horizontal est la circonférence de la base du cylindre (\(2\pi r\)). D'après le théorème de Pythagore, la longueur de la diagonale est :
\[\sqrt{(2\pi r)^2 + p^2}\]
Les courbes les plus courtes sur un cylindre
- Dans le plan, un segment est la courbe la plus courte reliant deux points. Mais quelle est la courbe la plus courte sur un cylindre ?
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Orientez le cylindre verticalement.
- Si les deux points sont alignés verticalement, la courbe la plus courte est le segment vertical qui les relie.
- Si les deux points sont à la même hauteur, la courbe la plus courte est l'arc circulaire horizontal le plus court les reliant (sauf s'ils sont diamétralement opposés, auquel cas il existe deux arcs circulaires horizontaux de même longueur).
- Si les points ne sont ni alignés verticalement ni horizontalement, la courbe la plus courte est une hélice qui fait au plus un demi-tour. Cette hélice est unique, sauf si les points ont des projections horizontales opposées (auquel cas il existe deux hélices possibles, l'une droite et l'autre gauche).